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Calculadora do binômio de Newton

Etapa 1 / 3 Calculadora do binômio de Newton

Um número inteiro, um decimal ou uma fração como 3/4. Números negativos são aceitos.

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Digite o coeficiente de x, o segundo termo e uma potência inteira n de 0 a 20, e a calculadora desenvolve (ax + b)^n, ou (ax + by)^n se o segundo termo tiver variável própria, com o teorema binomial. Você recebe a forma desenvolvida completa, uma tabela com cada termo C(n, k) a^(n-k) b^k, a linha dos coeficientes binomiais e o termo geral. Os coeficientes podem ser inteiros, decimais ou frações, e todo resultado é exato, então uma potência grande nunca é arredondada.

Como desenvolver um binômio

  1. 1

    Digite a, b e n

    Informe o coeficiente de x, o segundo termo e a potência. Use um número inteiro, um decimal como 0,5 ou uma fração como 3/4; valores negativos também funcionam.

  2. 2

    Escolha o segundo termo

    Escolha um número simples para (ax + b)^n ou uma segunda variável para (ax + by)^n.

  3. 3

    Leia o desenvolvimento

    A forma desenvolvida aparece primeiro, seguida do termo geral, dos coeficientes binomiais e de uma tabela com cada termo e seu coeficiente.

Como o teorema binomial monta cada termo

O teorema binomial diz que, para um número inteiro n:

(ax + b)^n = C(n, 0) (ax)^n + C(n, 1) (ax)^(n-1) b + ... + C(n, n) b^n

Cada termo é numerado por k, de 0 a n, e o termo geral é C(n, k) a^(n-k) b^k x^(n-k). Com uma segunda variável, y^k é acrescentado no final. O coeficiente binomial é C(n, k) = n! / (k! (n-k)!), o número de maneiras de escolher k itens entre n (lê-se « n escolhe k »). A calculadora multiplica C(n, k), a^(n-k) e b^k como frações exatas e depois simplifica o resultado.

Triângulo de Pascal: os coeficientes para a = b = 1

n Coeficientes binomiais C(n, k)
0 1
1 1, 1
2 1, 2, 1
3 1, 3, 3, 1
4 1, 4, 6, 4, 1
5 1, 5, 10, 10, 5, 1
6 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

Cada número é a soma dos dois que estão acima dele, e cada linha soma 2^n.

Exemplos resolvidos

  • (2x + 3)^4 = 16 x^4 + 96 x^3 + 216 x^2 + 216 x + 81. Conferência: com x = 1 temos 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625 = 5^4.
  • (x - 2)^5 = x^5 - 10 x^4 + 40 x^3 - 80 x^2 + 80 x - 32. Um b negativo faz os sinais se alternarem.
  • (x/2 + 1)^3 = (1/8) x^3 + (3/4) x^2 + (3/2) x + 1. As frações continuam exatas em vez de virarem decimais arredondados.

Bom saber

  • A soma de todos os coeficientes é igual a (a + b)^n, um jeito rápido de conferir um desenvolvimento feito à mão.
  • Se a ou b for 0, alguns termos desaparecem. A forma desenvolvida os omite, e a tabela continua listando-os com coeficiente 0.
  • Com potência 0, o resultado é sempre 1.
  • Um decimal é convertido antes em fração exata: 0,25 é lido como 1/4. O ponto decimal, como em 0.5, também é aceito.
  • A calculadora trabalha apenas com potências inteiras de 0 a 20. Potências fracionárias e negativas exigem a série binomial infinita, que esta ferramenta não calcula.

Perguntas frequentes

É a regra para desenvolver uma soma de dois termos elevada a uma potência inteira. (a + b)^n é a soma, para k de 0 a n, de C(n, k) a^(n-k) b^k. Os coeficientes binomiais C(n, k) são os números da linha n do triângulo de Pascal.

Uma potência n gera n + 1 termos, um para cada k de 0 a n. A tabela lista todos. Quando a ou b é 0, a forma desenvolvida mostra menos termos, porque os termos nulos são descartados.

Sim. Digite 3/4, 0,75 ou -2 nos campos a e b. Os decimais são convertidos em frações exatas, então 0,1 é tratado como 1/10 e os coeficientes nunca são arredondados.

O desenvolvimento de uma potência 20 já tem 21 termos e coeficientes com dezenas de dígitos, que é mais ou menos o que uma página consegue mostrar com clareza. Nesse intervalo, a calculadora trabalha com inteiros e frações exatos.

Não. Os valores digitados são enviados ao nosso servidor para calcular o desenvolvimento e são acrescentados ao link da página quando você passa de uma etapa para outra, para que dê para salvar ou compartilhar um resultado. Eles não ficam ligados a nenhuma conta ou perfil.

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