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Calculadora de Combinações

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C(n, k), leia “n escolher k”, conta o número de maneiras de escolher k itens de n quando a ordem não importa. Escolha 3 coberturas de 10 → C(10, 3) = 120. Distribua mãos de 5 cartas de 52 → C(52, 5) = 2.598.960. A calculadora aceita n até 170, retorna o resultado inteiro exato com aritmética de precisão arbitrária (sem arredondamento de notação científica) e também mostra o número de permutações P(n, k).

Como as combinações são calculadas

  1. 1

    Insira n e k

    Ambos inteiros não negativos com k ≤ n. n é o tamanho do conjunto; k é o tamanho da seleção. Valores acima de 170 são limitados.

  2. 2

    Fórmula aplicada

    C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). A ferramenta também calcula P(n, k), o número de seleções ordenadas.

  3. 3

    Saída inteira exata

    O cálculo usa aritmética inteira exata, então os resultados nunca perdem dígitos, mesmo para valores como C(170, 85).

  4. 4

    Ambos os resultados mostrados

    Combinações C(n, k) e permutações P(n, k) são mostradas juntas; P(n, k) = C(n, k) × k!.

A fórmula

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Equivalente: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

Exemplos resolvidos

  • C(10, 3) = 120: maneiras de escolher 3 coberturas de 10.
  • C(52, 5) = 2.598.960: mãos de poker de 5 cartas de um baralho padrão.
  • C(49, 6) = 13.983.816: combinações do sorteio principal da Loteria Nacional do Reino Unido.
  • C(70, 5) × 25 = 302.575.350: combinações do jackpot do Mega Millions (5 bolas principais de 70 + 1 bola Mega de 25).
  • C(100, 50) ≈ 1,01 × 10²⁹: subconjuntos de metade de um conjunto de 100 itens.

Combinações vs permutações

  • Combinação C(n, k): a ordem não importa. Escolher {A, B, C} é o mesmo que {C, B, A}.
  • Permutação P(n, k): a ordem importa. {A, B, C} difere de {C, B, A}.
  • Relação: P(n, k) = C(n, k) × k!

Sorteios de loteria são combinações (a ordem das bolas não importa). Posições de chegada em corridas são permutações (primeiro, segundo, terceiro importam).

Triângulo de Pascal

C(n, k) forma o triângulo de Pascal quando arranjado:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

Cada entrada C(n, k) é a soma das duas entradas acima dela: C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Simétrico: C(n, k) = C(n, n-k).

Propriedades

  • C(n, 0) = C(n, n) = 1: apenas uma maneira de escolher nada ou tudo.
  • C(n, 1) = n: n maneiras de escolher um item.
  • Soma da linha n: Σ C(n, k) de k=0 a n = 2ⁿ. Total de subconjuntos de um conjunto de n itens.
  • Taco de hóquei: Σ C(i, k) de i=k a n = C(n+1, k+1).

Aplicações do mundo real

  • Probabilidades de loteria: 1 / C(n, k) para números exatos sorteados.
  • Desenho de amostragem: seleção de grupos de teste de uma população.
  • Genética: contagem de possíveis genótipos de descendentes.
  • Agendamento: torneios round-robin precisam de C(equipes, 2) jogos.
  • Distribuição binomial: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).
  • Seleção de comitê: maneiras de formar um comitê de 5 de 20 membros = C(20, 5) = 15.504.

Números grandes: ainda exatos

Os resultados crescem rápido: C(100, 50) já tem 30 dígitos. A calculadora limita n a 170, o que cobre todos os usos práticos, como loterias, comitês e amostragens, e mantém cada resposta exata porque o cálculo usa aritmética inteira de precisão arbitrária em vez de ponto flutuante.

Perguntas frequentes

Escolher k itens para incluir é matematicamente equivalente a escolher n-k itens para excluir. Mesmo número de arranjos. C(10, 3) = C(10, 7) = 120.

C(n, k) = 0 por convenção quando k > n, você não pode escolher mais itens do que possui. A calculadora sinaliza isso e retorna 0.

A calculadora aceita n até 170 e sempre retorna o inteiro exato. Para problemas padrão de loteria e probabilidade, n está quase sempre abaixo de 100.

Não. As “combinações com repetição” (também chamadas de multiconjuntos) usam uma fórmula diferente, C(n+k−1, k), que esta ferramenta não calcula. Trate esse caso como um problema à parte.

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