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Calculadora de números complexos

Etapa 1 / 3
Primeiro número complexo z₁ = a + bi
Próximo

Um número complexo tem a forma a + bi, em que a é a parte real, b é a parte imaginária e i é a raiz quadrada de −1. Esta calculadora recebe dois números complexos, z₁ = a + bi e z₂ = c + di, e retorna sua soma, diferença, produto e quociente na forma padrão x + yi. Ela também informa o módulo (distância até a origem) e o argumento (ângulo, em graus) de z₁, para que você alterne entre a representação retangular e a polar num relance.

Como usar a calculadora

  1. 1

    Digite z₁

    Informe a parte real a e a parte imaginária b do primeiro número complexo.

  2. 2

    Digite z₂

    Informe a parte real c e a parte imaginária d do segundo número complexo.

  3. 3

    Veja os resultados

    Soma, diferença, produto e quociente aparecem na forma a + bi, com o módulo e o argumento de z₁.

As quatro operações

Para z₁ = a + bi e z₂ = c + di, a aritmética decorre diretamente de tratar i como um símbolo com i² = −1:

  • Soma: (a + c) + (b + d)i
  • Diferença: (a − c) + (b − d)i
  • Produto: (ac − bd) + (ad + bc)i
  • Quociente: multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado de z₂: [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

A divisão só é definida quando o denominador c² + d² é diferente de zero, ou seja, sempre que z₂ não for 0 + 0i.

Módulo e argumento de z₁

O módulo é a distância da origem ao ponto (a, b) no plano complexo: |z₁| = √(a² + b²). O argumento é o ângulo que z₁ forma com o semieixo real positivo, calculado com o arco-tangente de dois argumentos arg(z₁) = atan2(b, a) e exibido aqui em graus, no intervalo de −180° a 180°.

Exemplo resolvido

Sejam z₁ = 3 + 2i e z₂ = 1 + 4i.

Operação Cálculo Resultado
Soma (3 + 1) + (2 + 4)i 4 + 6i
Diferença (3 − 1) + (2 − 4)i 2 − 2i
Produto (3·1 − 2·4) + (3·4 + 2·1)i −5 + 14i
Quociente [(3 + 8) + (2 − 12)i] / 17 ≈ 0,6471 − 0,5882i
Módulo z₁ √(3² + 2²) = √13 ≈ 3,6056
Argumento z₁ atan2(2, 3) ≈ 33,69°

Erros a evitar

  • Esquecer que i² = −1. Ao multiplicar, o termo bd·i² troca de sinal e se une à parte real; por isso a parte real do produto é ac − bd, e não ac + bd.
  • Dividir sem o conjugado. Você não pode separar (a + bi)/(c + di) termo a termo; multiplique primeiro por (c − di)/(c − di).
  • Misturar graus e radianos. Aqui o argumento está em graus; muitas linguagens de programação retornam radianos de atan2. Multiplique por 180/π para converter.
  • Erros de quadrante. Use atan2, não o simples arctan(b/a), ou o ângulo dos pontos com parte real negativa cairá no quadrante errado.

Perguntas frequentes

São as partes das duas entradas: z₁ = a + bi (a real, b imaginária) e z₂ = c + di (c real, d imaginária). Coloque b ou d em 0 para trabalhar com um número puramente real, ou a ou c em 0 para um puramente imaginário.

Os graus são mais fáceis de ler para a maioria das pessoas. O valor vem de atan2(b, a) e varia de −180° a 180°. Para converter em radianos, multiplique por π/180.

A divisão por zero é indefinida, então, quando c e d são ambos 0, o quociente não pode ser calculado e a calculadora avisa. Todas as outras operações (soma, diferença, produto) continuam funcionando.

Os números que você digita são enviados ao nosso servidor apenas para calcular os resultados exibidos na página e, na visão por etapas, também aparecem no link da página entre as etapas. Eles não são salvos nem compartilhados.

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