Solução de Equação Cúbica
Uma equação cúbica tem a forma geral ax³ + bx² + cx + d = 0 e sempre tem três raízes sobre os números complexos. Insira os quatro coeficientes e o solucionador os retorna usando a fórmula de Cardano: três raízes reais quando o discriminante é não positivo, uma raiz real mais um par de conjugados complexos quando o discriminante é positivo, e uma configuração de raiz dupla quando o discriminante é igual a zero.
Como o solucionador encontra as raízes
-
1
Insira os coeficientes
Quatro números: a, b, c, d. O coeficiente líder a deve ser diferente de zero, caso contrário, a equação é quadrática, não cúbica.
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2
Cúbica deprimida
O solucionador desloca a equação por -b/(3a) para eliminar o termo quadrático, produzindo a forma `t³ + pt + q = 0`.
-
3
Verificação do discriminante
Δ = (q/2)² + (p/3)³ decide o caminho: Δ > 0 dá uma raiz real, Δ = 0 dá uma raiz dupla, Δ < 0 dá três raízes reais via trigonometria.
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4
Deslocar de volta
Cada raiz encontrada no espaço t é deslocada por -b/(3a) para recuperar x. O solucionador as retorna em ordem decrescente quando aplicável.
Casos do discriminante e o que eles significam
O método de Cardano passa por um dos três ramos dependendo do sinal do discriminante Δ = (q/2)² + (p/3)³. A geometria do gráfico cúbico reflete isso exatamente.
Tabela de casos
| Discriminante | Raízes | Forma do gráfico |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 1 real, 2 complexos conjugados | Cruza o eixo x uma vez |
| Δ = 0 | 3 reais, pelo menos duas iguais | Toca o eixo x em uma raiz dupla |
| Δ < 0 | 3 raízes reais distintas | Cruza o eixo x três vezes |
Exemplo trabalhado
Para x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (coeficientes 1, −6, 11, −6):
- Desloque por −b/(3a) = 2 para obter a forma deprimida: p = −1, q = 0.
- Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, então seguimos o caminho das três raízes reais (trigonométrico).
- A fórmula trigonométrica dá as três raízes reais distintas x = 1, 2, 3.
Considerações numéricas
- Erro de ponto flutuante aparece quando as três raízes estão próximas (uma raiz quase tripla). As raízes exibidas podem diferir nos últimos lugares decimais dos valores exatos.
- a muito pequeno torna b/(3a) grande, o que domina a aritmética e reduz a precisão. Se
|a|estiver abaixo de cerca de 1e-12, resolva como uma quadrática em vez disso. - Coeficientes inteiros dão a saída mais limpa: raízes racionais aparecerão em seus valores exatos até o arredondamento de ponto flutuante.
Equações relacionadas
- Quadrática:
ax² + bx + c = 0. Use o Solucionador de Equação Quadrática, forma fechada e mais simples. - Quártica:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. O método de Ferrari reduz a uma cúbica resolvente; não coberto aqui. - Cúbica deprimida: defina b = 0 para pular o deslocamento e alimente
x³ + px + q = 0diretamente.
Perguntas frequentes
A equação não é mais cúbica. O solucionador se recusa a prosseguir nesse caso, mude para o Solucionador de Equação Quadrática para bx² + cx + d = 0.
O solucionador retorna a única raiz real nesse caso. As outras duas raízes são um par de conjugados complexos que a fórmula de Cardano fornece em forma fechada; calcule-as como -x1/2 ± (√3/2) × i × módulo se precisar delas para uma resposta simbólica.
Implementações numéricas do método de Cardano podem produzir resíduos na ordem de 1e-15 devido ao arredondamento de ponto flutuante. Trate qualquer coisa abaixo de 1e-10 como real; este solucionador já filtra esses resíduos para o ramo Δ < 0.
Os quatro coeficientes são enviados ao servidor apenas para calcular as raízes e não são armazenados. Se você usar a visão passo a passo, os coeficientes também aparecem no link da página.
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