Calculadora de Produto Escalar

As duas fórmulas

Forma componente para vetores a = (a1, a2, ..., an) e b = (b1, b2, ..., bn):

a . b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

Forma geométrica:

a . b = |a| * |b| * cos(theta)

As duas expressões são iguais; igualá-las dá cos(theta) = (a.b) / (|a| |b|), a fórmula de similaridade cosseno.

O que o sinal indica

Exemplo resolvido

a = (3, 4), b = (1, 2):

• Componentes: 31 + 42 = 3 + 8 = 11
• |a| = sqrt(9 + 16) = 5
• |b| = sqrt(1 + 4) = sqrt(5) ~ 2.236
• cos(theta) = 11 / (5 * 2.236) = 0.9839
• theta = arccos(0.9839) ~ 10.3 graus

Os vetores apontam quase na mesma direção, daí o grande produto escalar positivo.

Aplicações comuns

• Similaridade cosseno para sistemas de recomendação: quão semelhantes são dois vetores de incorporação?
• Projeção de um vetor sobre outro: proj_b(a) = (a . b) / |b|^2 * b.
• Trabalho em física: W = F . d, o produto escalar entre força e deslocamento.
• Iluminação gráfica: o produto escalar entre a normal da superfície e a direção da luz dá o brilho difuso (lei de Lambert).
• Verificação de ortogonalidade: verifique rapidamente se dois vetores base são perpendiculares.

Dicas

• Normalize antes de comparar. Se você só se importa com a direção (similaridade), divida cada vetor pela sua magnitude primeiro; então o produto escalar é igual ao cosseno diretamente.
• Cuidado com a dimensão. O produto escalar entre um vetor de 3 componentes e um de 4 componentes não é definido; preencha ou corte deliberadamente, não por acidente.
• Estabilidade numérica. Para vetores muito grandes, a acumulação de ponto flutuante pode perder precisão; use precisão dupla ou soma de Kahan quando a dimensão exceder alguns milhares.