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Calculadora do método de Euler

Etapa 1 / 3 Aproximação pelo método de Euler

Informe a equação e o ponto inicial

Para dy/dx = f(x,y), informe somente f(x,y). Use * para multiplicar e ^ para potências. Funções aceitas: sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs. Use parênteses nos argumentos. Na equação, separe os decimais com ponto.

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Aproxime a solução de um problema de valor inicial de primeira ordem na forma dy/dx = f(x,y), com y conhecido em um x inicial. Informe o lado direito da equação, o ponto inicial, um passo positivo e o x de destino. A calculadora aplica passos do método de Euler explícito até o destino e mostra todos os valores intermediários. O resultado é uma aproximação numérica, não uma solução exata.

Como usar o método de Euler

  1. 1

    Informe a equação diferencial

    Para dy/dx = x + y, informe x + y como f(x,y). Depois, insira as coordenadas x e y do ponto inicial conhecido.

  2. 2

    Defina o intervalo

    Informe um passo positivo h e o x de destino. A calculadora pode avançar para valores de x maiores ou menores.

  3. 3

    Leia a aproximação

    Veja a estimativa de y no destino e uma tabela com x, y, inclinação e tamanho real do passo, até 200 passos.

O que a calculadora faz

A partir de (x₀, y₀), o método de Euler explícito repete yₙ₊₁ = yₙ + hₙ f(xₙ, yₙ) e xₙ₊₁ = xₙ + hₙ. Cada inclinação é calculada no início do passo. O valor positivo informado para o passo é seu comprimento máximo; a calculadora aplica o sinal apropriado quando o destino fica à esquerda do ponto inicial. Se a distância restante for menor que o passo escolhido, o último passo é encurtado para chegar exatamente ao x de destino.

Para dy/dx = x + y, y(0) = 1, h = 0,1 e x de destino 0,3:

Passo x y aproximado Inclinação usada no próximo passo
0 0 1 1
1 0,1 1,1 1,2
2 0,2 1,22 1,42
3 0,3 1,362 Fim

Na tabela da calculadora, a inclinação usada em uma atualização aparece na linha resultante dessa atualização, com o título “Inclinação anterior”. Por isso, a inclinação 1,42 aparece no passo 3. A solução exata do exemplo é y = 2eˣ - x - 1, que vale cerca de 1,3997 em x = 0,3. A aproximação de Euler, 1,362, é menor porque cada atualização segue a tangente do início do passo. Um h menor geralmente reduz o erro em um problema regular, mas o erro depende da equação e do intervalo. A calculadora não estima um limite para esse erro.

Escreva a multiplicação explicitamente, como 2*x, x*y ou 2*sin(x). A expressão aceita x, y, parênteses, +, -, *, /, ^, as constantes pi e e e as funções sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs. Use ponto nas constantes decimais dentro da expressão, como 0.5*y. Nos campos numéricos separados, você pode usar o separador decimal local ou um ponto que não gere ambiguidade; evite separadores de milhar.

O método de Euler e sua fórmula de recorrência são descritos em OpenStax Calculus Volume 2. O capítulo da LibreTexts sobre métodos numéricos explica como o tamanho do passo afeta o erro de aproximação.

Perguntas frequentes

Informe um passo positivo. Se o x de destino for menor que o x inicial, a calculadora avança automaticamente para trás. A tabela mostra o passo com o sinal efetivamente usado.

O último passo é reduzido à distância restante. Por exemplo, com h = 0,4 de x = 0 até x = 1, os passos são 0,4, 0,4 e 0,2, terminando em x = 1.

Não. O método de Euler explícito segue as inclinações das tangentes locais e acumula erro de aproximação. O valor informado é uma estimativa no x de destino, não uma solução simbólica exata nem uma garantia sobre o erro.

A ferramenta lida com equações de primeira ordem escritas explicitamente como dy/dx = f(x,y), com um valor inicial conhecido de y. Ela não resolve equações de ordem superior, sistemas, equações que exigem solução implícita ou equações indefinidas ao longo do percurso pedido.

O limite mantém a tabela útil e evita um cálculo grande no navegador. Aumente h ou escolha um destino mais próximo se o intervalo exigir mais passos.

Sim. O CSV contém os valores numéricos x e y sem arredondamento, a inclinação usada para chegar a cada linha e o tamanho do passo com sinal nessa linha. A tabela na tela arredonda os valores para facilitar a leitura.

O cálculo acontece no seu navegador. No fluxo por etapas, os dados são salvos apenas nesta aba, enquanto a URL contém um identificador aleatório em vez da equação ou dos valores.

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