Calculadora de progressão geométrica

As fórmulas

Em uma progressão geométrica, cada termo é igual ao termo anterior multiplicado pela razão r. Partindo do primeiro termo a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

A soma dos n primeiros termos (a soma parcial) é:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) para r ≠ 1

Quando a razão é exatamente 1, todos os termos são iguais, então a soma é simplesmente Sₙ = n · a₁. Se a razão estiver estritamente entre −1 e 1, a soma infinita converge para a₁ / (1 − r).

Exemplo resolvido

Tome a₁ = 2 e r = 3, e peça n = 5 termos.

• Progressão: 2, 6, 18, 54, 162
• 5º termo: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
• Soma: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

Cada termo é exatamente 3 vezes o anterior, e os cinco termos somam 242.

Termos e somas parciais num relance

Erros comuns

• Erro de um no expoente. O termo n usa r^(n−1), não rⁿ: ao primeiro termo a razão ainda não foi aplicada.
• Razão igual a 1. Se você colocar r = 1 na fórmula principal da soma, divide por zero. Use Sₙ = n · a₁ em vez disso; esta ferramenta troca de fórmula automaticamente.
• Geométrica ou aritmética. Uma progressão geométrica multiplica por uma razão fixa; uma aritmética soma uma diferença fixa. Confundi-las gera termos completamente errados.
• Razões negativas. Uma razão como −2 alterna o sinal dos termos (2, −4, 8, −16, …); isso é válido e a calculadora lida com isso.

Onde as progressões geométricas aparecem

As progressões geométricas modelam tudo que cresce ou diminui uma porcentagem constante a cada passo. Os juros compostos multiplicam um saldo pelo mesmo fator a cada período, de modo que os saldos formam uma progressão geométrica. O crescimento populacional, o decaimento radioativo medido em meias-vidas, as alturas dos saltos de uma bola solta e a depreciação anual de um bem seguem todos o mesmo padrão. Reconhecer a razão em dados reais permite projetar o próximo valor, estimar um total acumulado ou julgar se a fórmula da soma infinita convergente se aplica quando a razão fica entre −1 e 1.