Calculadora hipergeométrica

O que o cálculo significa

N é o tamanho da população; K, os sucessos nela; n, os itens retirados; e X, os sucessos na amostra. A retirada é sem reposição: um item retirado não pode ser selecionado de novo.

Para exatamente k sucessos:

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

C(a, b) é o número de maneiras de escolher b itens entre a. Só são possíveis de max(0, n - (N - K)) a min(n, K) sucessos. Um valor exato fora desse intervalo tem probabilidade zero, mesmo que esteja entre zero e o tamanho da amostra. No máximo k soma as probabilidades exatas até k; pelo menos k soma as probabilidades a partir de k. Por isso, um evento acumulado abaixo ou acima do intervalo possível pode ter probabilidade zero ou um.

Exemplo: cinco retiradas entre 20 itens

Uma caixa contém 20 itens, sete deles marcados. Retire cinco sem reposição e pergunte a probabilidade de obter exatamente dois marcados. Informe N = 20, K = 7, n = 5, k = 2 e escolha Exatamente k.

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15504 = 6006 / 15504 ≈ 0,387384.

Isso equivale a cerca de 38,74%. Ao escolher No máximo k, você obtém P(X ≤ 2) ≈ 0,793215; com Pelo menos k, P(X ≥ 2) ≈ 0,594169. Os dois eventos acumulados incluem o resultado de exatamente dois.

Média, variância e diferença para a distribuição binomial

O número esperado de sucessos é n × K / N. Para N > 1, a variância é n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1); para N = 1, ela é zero. O último fator considera a mudança na composição da população restante.

A documentação do R sobre a distribuição hipergeométrica descreve as funções correspondentes de probabilidade exata e distribuição acumulada.

Use um modelo binomial quando as tentativas forem independentes e cada uma tiver a mesma probabilidade de sucesso, como em retiradas nas quais o item é devolvido antes da próxima. Use o modelo hipergeométrico para um número fixo de retiradas de uma população finita sem reposição. A calculadora aceita números inteiros e calcula a distribuição no navegador. As etapas guiadas guardam os dados temporariamente nesta aba; em outra aba ou após o fim da sessão, talvez você precise recomeçar.

Para probabilidades não nulas extremamente pequenas, a tela pode mostrar Menor que 10^-300, pois os números decimais comuns não conseguem exibir o valor completo. O CSV também inclui o logaritmo de base 10 da probabilidade de cada resultado possível para você conferir sua ordem de grandeza.