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Calculadora da lei dos cossenos

Etapa 1 / 3 Lado c
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Informe dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, e esta calculadora retorna o terceiro lado usando a lei dos cossenos: c = √(a² + b² − 2ab·cos C). Ao contrário do teorema de Pitágoras, ela funciona para qualquer triângulo (acutângulo, retângulo ou obtusângulo), não só para os retângulos. É a ferramenta padrão para o caso lado-ângulo-lado (LAL): quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles, o terceiro lado fica determinado, e a fórmula o fornece com exatidão.

Como o cálculo funciona

  1. 1

    Informe os dois lados conhecidos

    Os lados a e b podem ser quaisquer números positivos, na mesma unidade (ambos em cm, ambos em metros e assim por diante).

  2. 2

    Informe o ângulo C entre os lados

    O ângulo entre os lados a e b, em graus (de 0 a 180). É o ângulo oposto ao lado que você está calculando.

  3. 3

    Leia o lado c

    A calculadora aplica c = √(a² + b² − 2ab·cos C) e mostra o terceiro lado, oposto ao ângulo C.

A fórmula

A lei dos cossenos relaciona os três lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos:

c² = a² + b² − 2ab·cos C

Isolando o lado oposto ao ângulo C:

c = √(a² + b² − 2ab·cos C)

Aqui, C é o ângulo entre os lados a e b (o ângulo compreendido), e c é o lado oposto a esse ângulo. A mesma relação vale para cada ângulo, então você pode girar os rótulos: a² = b² + c² − 2bc·cos A e b² = a² + c² − 2ac·cos B.

Um exemplo resolvido

Suponha a = 5, b = 7 e o ângulo compreendido C = 60°. Então:

  • cos 60° = 0,5
  • c² = 5² + 7² − 2 × 5 × 7 × 0,5 = 25 + 49 − 35 = 39
  • c = √39 ≈ 6,245

Portanto, o terceiro lado mede cerca de 6,245 unidades.

Casos especiais

Ângulo C cos C A fórmula se reduz a Significado
90° 0 c² = a² + b² O teorema de Pitágoras
< 90° positivo c² < a² + b² Ângulo agudo, c mais curto
> 90° negativo c² > a² + b² Ângulo obtuso, c mais longo
0° 1 c = |a − b| Os lados se sobrepõem em uma reta
180° −1 c = a + b Os lados apontam em sentidos opostos

Quando C = 90°, o termo −2ab·cos C se anula e você recupera c² = a² + b²: a lei dos cossenos é uma generalização direta de Pitágoras para qualquer ângulo.

Erros comuns

  • Graus x radianos. Esta ferramenta espera o ângulo em graus. cos 60° ≈ 0,5, mas cos(60 radianos) ≈ −0,95: um resultado bem diferente.
  • Ângulo errado. C deve ser o ângulo entre a e b. Usar outro ângulo dá o lado errado.
  • Use a lei certa. Com dois ângulos e um lado (ou dois lados e um ângulo não compreendido), recorra à lei dos senos. A lei dos cossenos precisa do ângulo compreendido (LAL) ou dos três lados (LLL).

Perguntas frequentes

Use a lei dos cossenos quando conhecer dois lados e o ângulo entre eles (LAL), ou os três lados (LLL). Use a lei dos senos quando conhecer dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo não compreendido.

Sim. A lei dos cossenos funciona para qualquer triângulo: acutângulo, retângulo ou obtusângulo. Para um ângulo obtuso C, cos C é negativo, o que torna o lado c mais longo, exatamente como esperado.

Em graus. Informe C como um valor de 0 a 180. A calculadora converte para radianos internamente antes de aplicar o cosseno.

Não. O cálculo é feito no seu navegador enquanto você digita. Os comprimentos dos lados e o ângulo não são armazenados, registrados nem enviados a lugar nenhum, então você pode usar a ferramenta para medições privadas.

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