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Calculadora de decomposição em frações parciais

Etapa 1 / 3 Calculadora de decomposição em frações parciais

Use x, números inteiros, +, -, *, ^ e parênteses. Escreva a multiplicação de forma explícita, como 3*x.

Próximo: inserir o denominador

Reescreva uma expressão racional aceita como um quociente polinomial mais frações simples. Insira o numerador e o denominador separadamente e confira os coeficientes exatos e uma identidade de recomposição verificada.

Como decompor uma expressão racional

  1. 1

    Insira o numerador

    Escreva um polinômio em x, como x+7 ou x^2+3*x+1. Use * para multiplicar.

  2. 2

    Insira o denominador

    Escreva um polinômio não nulo de grau 1 a 4, como (x-3)*(x+2).

  3. 3

    Confira a identidade

    Veja o quociente polinomial, os termos das frações parciais e a identidade exata dos coeficientes. O denominador original continua determinando o domínio.

De uma fração a termos mais simples

A decomposição em frações parciais reescreve uma expressão racional como uma soma de frações mais simples. Quando o denominador tem fatores lineares distintos, cada fator recebe um numerador constante. Um fator repetido contribui com um termo para cada potência. Um fator quadrático irredutível recebe um numerador de grau no máximo 1. O OpenStax Precalculus explica essas formas e o método de comparação dos coeficientes.

Por exemplo, (x+7)/((x-3)*(x+2)) = 2/(x-3) - 1/(x+2). Ao reunir os dois termos, obtemos (2*(x+2)-(x-3))/((x-3)*(x+2)) = (x+7)/((x-3)*(x+2)). A identidade vale para todo x, exceto 3 e -2, onde o denominador original é zero.

Inserir polinômios aceitos

Use coeficientes inteiros, x, parênteses e os operadores +, -, * e ^. Escreva as multiplicações de forma explícita, como 3*x ou (x-2)*(x+1). Insira os dois polinômios separadamente; não digite a barra de fração. São aceitas as formas expandidas e fatoradas. Por exemplo, x^2-5*x+6 e (x-2)*(x-3) representam o mesmo polinômio.

O numerador pode ter grau até 6. O denominador deve ter grau 1 a 4. Cada coeficiente dos polinômios inseridos e dos polinômios intermediários obtidos ao avaliar a expressão deve ter valor absoluto de no máximo 1.000.000. Seus fatores lineares podem ter qualquer raiz racional permitida por esses coeficientes inteiros, incluindo raízes repetidas. Segundo o teorema das raízes racionais apresentado pelo OpenStax, o numerador de uma raiz racional na forma irredutível divide o termo constante, e seu denominador divide o coeficiente do termo de maior grau. É aceito no máximo um fator quadrático restante de discriminante negativo. Esse fator não tem raízes reais. Denominadores com uma raiz real irracional ou vários fatores quadráticos não são aceitos. Os coeficientes de entrada são inteiros, mas os coeficientes do resultado podem ser frações exatas.

Fração inicial Decomposição
3*x/((x+2)*(x-1)) 2/(x+2) + 1/(x-1)
(-x^2+2*x+4)/(x*(x-2)^2) 1/x - 2/(x-2) + 2/(x-2)^2
(x^2+3*x+1)/(x^2-4) 1 + (11/4)/(x-2) + (1/4)/(x+2)
1/((2*x-1)*(x+2)) (2/5)/(2*x-1) - (1/5)/(x+2)

Para uma fração imprópria, a calculadora primeiro divide o numerador pelo denominador e depois decompõe o resto. A identidade dos coeficientes exibida recompõe as frações parciais no resto, e o resultado é verificado em relação ao numerador original usando aritmética racional exata. O OpenStax Calculus descreve o mesmo método de começar pela divisão. Uma identidade algébrica correta não torna a expressão definida nos pontos excluídos pelo denominador original, mesmo quando um fator é cancelado.

Perguntas frequentes

Sim. Insira o numerador e o denominador separadamente. A calculadora faz a divisão polinomial e depois decompõe o resto, se houver. O quociente aparece junto das frações parciais.

Sim, quando o fator linear repetido tem uma raiz racional. Para (2x-1)^2, a forma inclui A/(2x-1) e B/(2*x-1)^2; um termo com coeficiente zero é omitido do resultado.

O denominador deve ter grau 1 a 4 e se decompor em fatores lineares com raízes racionais, opcionalmente com um fator quadrático restante de discriminante negativo. Uma raiz real irracional ou dois fatores quadráticos irredutíveis estão fora dos casos aceitos.

Somente onde o denominador original é diferente de zero. A identidade exibida verifica as operações polinomiais, mas o cancelamento de fatores não remove os pontos excluídos do domínio da expressão original.

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