Calculadora de regressão quadrática

O que a regressão quadrática calcula

Um modelo quadrático tem a forma ŷ = a*x^2 + b*x + c. Aqui, ŷ é um valor ajustado de y. O coeficiente a controla a curvatura, b é o coeficiente linear e c é o valor ajustado quando x é zero. A inclinação em um valor específico de x é 2*a*x + b, portanto b sozinho não representa uma inclinação constante. Se a for zero, o modelo ajustado será uma reta.

Se os valores de x estiverem muito distantes de zero, o resultado poderá mostrar uma equação centralizada e reescalada para calcular com maior precisão. Os valores de a, b e c exibidos na escala original de x serão, então, aproximados; as previsões e os resíduos usam a forma estável.

A calculadora determina os coeficientes pelo método dos mínimos quadrados ordinários, minimizando a soma dos quadrados das diferenças verticais entre os valores observados e ajustados de y. Uma curva quadrática continua sendo linear em relação aos três coeficientes desconhecidos. O NIST explica os mínimos quadrados lineares para modelos polinomiais.

Em cada linha, o resíduo é o valor observado de y menos o valor ajustado. A raiz do erro quadrático médio é RMSE = sqrt(sum(residual^2)/n), em que n é o número de linhas e residual representa cada resíduo. O RMSE tem a mesma unidade de y. O coeficiente de determinação é R² = 1 - sum(residual^2)/sum((y - mean(y))^2), em que mean(y) é a média de y. Se todos os valores observados de y forem iguais, o denominador será zero e R² ficará indefinido. Aqui, o RMSE divide por n; ele é diferente do erro padrão residual, que divide pelos graus de liberdade residuais antes de extrair a raiz quadrada.

Exemplo resolvido

Insira os três pares (0; 1), (1; 4) e (2; 9). A curva ajustada é ŷ = x^2 + 2*x + 1. Em x = 0, a equação resulta em c = 1. Os outros pares resultam em a + b + 1 = 4 e 4*a + 2*b + 1 = 9, portanto a = 1 e b = 2. Os três resíduos são zero, o RMSE é zero e R² é um. Três pontos com valores distintos de x podem determinar exatamente uma quadrática; isso não comprova que a curva fará boas previsões para novas observações.

Em x = 1,5, essa equação prevê 6,25. Em x = 3, ela prevê 16, mas esse valor está fora do intervalo de x inserido e é uma extrapolação. Uma quadrática pode subir ou cair rapidamente fora do intervalo medido.

Para um ajuste com erros visíveis, considere estas cinco observações:

Esses resíduos satisfazem as equações dos coeficientes do ajuste por mínimos quadrados. A soma de seus quadrados é 0,70, então RMSE = sqrt(0.70/5), aproximadamente 0,3742. A variação quadrática total em relação à média y = 3 é 14,70, resultando em R² = 1 - 0.70/14.70, aproximadamente 0,9524. As fórmulas mantêm o ponto decimal da notação de cálculo.

Prepare e interprete seus dados

Insira um par em cada linha não vazia. Nos idiomas que usam ponto decimal, você pode separar x e y com vírgula, ponto e vírgula, tabulação ou espaço. No português do Brasil, que usa vírgula decimal, separe os valores com ponto e vírgula, tabulação ou espaço; por exemplo, 1,5; 2,25. Não use separadores de milhares. Uma primeira linha opcional com os nomes das colunas só é aceita quando identifica claramente as duas colunas. Todas as outras linhas não vazias devem conter dois números válidos; uma linha malformada é rejeitada em vez de ser descartada sem aviso.

São necessários pelo menos três valores distintos de x para obter um ajuste quadrático único. Cada x e y inserido, assim como o x da previsão opcional, deve ter valor absoluto de no máximo 10^12. Medições repetidas em um mesmo valor de x são permitidas e contam como observações separadas. Analise a curva e os resíduos junto com R² e RMSE. Um R² alto não comprova causalidade nem garante previsões úteis, e não existe um limite universal para considerar um ajuste bom. O NIST descreve a análise de resíduos como parte da validação de modelos.

A calculadora ajusta os pares nesta aba do navegador. Os dados do ajuste ficam no armazenamento de sessão enquanto você percorre as três etapas e são removidos ao selecionar Começar de novo. O link da página não contém os pares. A previsão opcional é uma estimativa pontual obtida da equação ajustada; ela não inclui um intervalo de incerteza.