Calculadora de RREF

O que significa forma escalonada reduzida por linhas

Uma matriz está na forma escalonada reduzida por linhas quando cada linha não nula tem um primeiro elemento igual a 1, cada um desses elementos aparece mais à direita que o da linha anterior, todas as outras entradas de uma coluna pivô são zero e as linhas totalmente nulas ficam na parte inferior. Esses elementos iniciais iguais a 1 são os pivôs.

A RREF oferece uma maneira consistente de revelar a estrutura numérica de uma matriz. As colunas pivô indicam onde estão os pivôs, enquanto as demais são colunas livres. O posto é o número de pivôs. Para uma matriz com n colunas, a nulidade exibida aqui é n menos o posto, que também corresponde ao número de colunas livres.

Esta ferramenta numera as colunas a partir de 1. Se o resultado indicar as colunas pivô 1 e 3, trata-se da primeira e da terceira coluna da matriz inserida.

Operações sobre linhas exibidas

A calculadora usa os três tipos usuais de operação elementar sobre linhas:

• Trocar duas linhas.
• Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
• Substituir uma linha por ela mesma menos um múltiplo de outra linha.

Para cada coluna pivô, a calculadora escolhe entre as linhas restantes aquela com o candidato a pivô de maior valor absoluto. Essa etapa de pivoteamento parcial é uma proteção numérica, pois evita a divisão por um valor menor quando há outro maior disponível. A linha escolhida vai para a posição adequada, seu pivô é normalizado para 1 e as entradas acima e abaixo dele são eliminadas. A lista de operações elementares mostra a matriz resultante depois de cada etapa.

Sequências válidas de operações podem seguir caminhos diferentes. A forma escalonada reduzida final é a mesma, salvo pequenos efeitos da precisão finita dos cálculos.

Exemplo numérico resolvido

Para a matriz padrão

a forma escalonada reduzida por linhas é

Há dois pivôs, nas colunas 1 e 3, portanto o posto é 2. A coluna 2 é livre e a nulidade é 3 - 2 = 1. A calculadora mostra a sequência exata de operações que usou para chegar ao resultado, em vez de exibir apenas a matriz final.

Posto, nulidade e colunas pivô e livres

O posto conta as posições de pivô na matriz reduzida. Ele descreve a dimensão do espaço coluna da matriz e também é igual ao número de linhas não nulas na RREF.

A nulidade é a dimensão do espaço nulo da matriz. Para uma matriz m × n de posto r, vale a relação posto-nulidade:

posto + nulidade = número de colunas, ou r + nulidade = n.

A calculadora obtém esses valores diretamente da redução numérica. Uma matriz pode não ter colunas livres e, nesse caso, sua nulidade é zero. Uma matriz retangular larga pode ter várias colunas livres, enquanto uma matriz com linhas dependentes ou nulas pode ter posto menor que seu número de linhas.

Regras de entrada e tolerância numérica

Insira uma linha da matriz em cada linha de texto. Na página em português, separe as entradas com espaços, ponto e vírgula (;) ou barras verticais (|), pois a vírgula é o separador decimal. Linhas em branco são ignoradas, mas todas as linhas preenchidas precisam ter o mesmo tamanho. São aceitos inteiros, decimais e notação científica, como 2,5e-3. Cada valor deve ser finito e estar entre -1000000 e 1000000.

A calculadora usa aritmética de ponto flutuante. Durante a redução, valores com módulo menor que 1e-10 são tratados como zero. Essa tolerância evita que pequenos resíduos de arredondamento apareçam como pivôs falsos, mas matrizes próximas da singularidade devem ser conferidas de acordo com a precisão exigida pelo seu curso ou pela sua aplicação.

O que esta calculadora não faz

Esta é uma ferramenta de redução numérica de matrizes, não um sistema de álgebra simbólica. Ela não aceita variáveis, frações escritas como expressões, radicais nem fórmulas. Também não calcula determinante ou inversa, não gera uma solução paramétrica, não converte linhas em equações e não decide se um sistema descrito separadamente é consistente.

Você pode inserir uma matriz aumentada numérica para examinar sua redução, mas a ferramenta trata todas as colunas como partes de uma única matriz. Ela não reconhece uma divisória de matriz aumentada nem interpreta a última coluna como termos constantes. Use a RREF e as informações sobre as colunas como resultados matriciais e depois aplique as convenções exigidas pelo seu problema de álgebra linear.