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Calculadora de Divisão Sintética

Etapa 1 / 3 Quociente
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A divisão sintética é a maneira mais rápida de dividir um polinômio por um fator linear (x - c), ela substitui páginas de divisão longa por uma única linha de números. Dê a este calculador seu polinômio e a raiz c, e ele retorna o quociente, o resto e a tabela completa de coeficientes, para que você possa acompanhar exatamente qual produto foi adicionado a qual coluna.

Como funciona a divisão sintética

  1. 1

    Insira o dividendo

    Digite os coeficientes do seu polinômio em ordem decrescente de grau, por exemplo, 2, -3, 0, 5 para 2x³ - 3x² + 5.

  2. 2

    Insira a raiz do divisor

    Para (x - 3), a raiz c é 3. Para (x + 2), c é -2.

  3. 3

    Veja a tabela se preencher

    Cada coluna é (anterior inferior × c) adicionada ao próximo coeficiente, carregando o total acumulado para baixo.

  4. 4

    Leia o quociente e o resto

    O último número é o resto; o restante forma o quociente, um grau abaixo do dividendo.

Exemplo resolvido

Divida 2x³ - 3x² + 0x + 5 por (x - 3).

 3  |  2   -3    0    5
    |       6    9   27
    |-----------------
       2    3    9  | 32
  • Traga 2 para baixo.
  • 2 × 3 = 6, adicione a -3 → 3.
  • 3 × 3 = 9, adicione a 0 → 9.
  • 9 × 3 = 27, adicione a 5 → 32.

Quociente: 2x² + 3x + 9. Resto: 32. Então 2x³ - 3x² + 5 = (x - 3)(2x² + 3x + 9) + 32.

Por que e quando usá-lo

Tarefa Usar sintético?
Dividir por um linear (x - c) Sim, mais rápido
Dividir por (ax - b), a ≠ 1 Ajustar primeiro
Dividir por um quadrático ou superior Usar divisão longa
Testar se c é uma raiz (teorema do fator) Sim, o resto deve ser 0
Avaliar P(c) rapidamente Sim (mesmo que o resto)

Regras importantes

  • Preencha os termos ausentes com zeros. x³ + 5 é realmente x³ + 0x² + 0x + 5. Pular esses zeros destrói a aritmética da coluna.
  • Inverta o sinal. Para o divisor (x - c), coloque c à esquerda, não -c. Para (x + 4), use -4.
  • Coeficientes principais não unitários. Para dividir por (2x - 6), fatorize o 2: divida por (x - 3) sinteticamente, depois divida o quociente por 2.

Conexão com o teorema do fator

Um polinômio P(x) é divisível por (x - c) se e somente se P(c) = 0. A divisão sintética lhe dá P(c) como o resto, sem necessidade de aritmética de substituição, razão pela qual essa técnica fundamenta algoritmos de busca de raízes na álgebra do ensino médio.

Perguntas frequentes

Não diretamente, a divisão sintética assume um divisor linear mônico. Ou fatorize o 2 (divida por x - 3 sinteticamente, depois divida o resultado por 2) ou volte para a divisão polinomial longa.

A aritmética quebra porque cada coluna representa uma potência específica de x. Sempre preencha potências ausentes com zero, é o passo que os alunos mais frequentemente esquecem.

O teorema do resto diz que quando P(x) é dividido por (x - c), o resto é igual a P(c). A divisão sintética é o atalho para ambos: dividir e avaliar em uma única passagem.

O método da divisão sintética funciona com qualquer número complexo c, a aritmética é idêntica, apenas realizada em forma complexa. Esta calculadora aceita apenas raízes reais (inteiros e decimais), portanto divisões complexas precisam ser feitas à mão.

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