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Calculadora da Série de Taylor

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Uma série de Taylor reescreve uma função como um polinômio construído a partir de suas derivadas em um único ponto, transformando curvas em álgebra. Escolha uma das cinco funções, um ponto central a e um número de termos n, e esta calculadora lista cada termo do polinômio de Taylor com seu coeficiente e valor, soma-os em uma aproximação e compara essa aproximação com o valor exato, para que você veja o erro diminuir à medida que adiciona termos.

Como calcular uma expansão de Taylor

  1. 1

    Escolha uma função

    Escolha uma das cinco funções integradas: eˣ, sin(x), cos(x), ln(x) ou arctan(x).

  2. 2

    Escolha o ponto central a

    a = 0 dá a série de Maclaurin; qualquer outro ponto dá uma série de Taylor ali. Para ln(x) o ponto central deve ser maior que 0.

  3. 3

    Defina o número de termos n

    Qualquer valor de 1 a 50. Mais termos significa melhor precisão perto do centro.

  4. 4

    Leia o detalhamento

    Veja cada termo (seu índice k, coeficiente e valor), a aproximação somada, o valor exato e o erro absoluto entre eles.

A fórmula

Para uma função f(x) que é infinitamente diferenciável em a, a série de Taylor em torno de a é:

f(x) = Σ (f^(n)(a) / n!) · (x - a)^n     para n = 0, 1, 2, ...

Quando a = 0, isso se simplifica para a série de Maclaurin, a expansão que a maioria dos cursos introdutórios de cálculo ensina primeiro.

As funções que esta calculadora expande

A calculadora oferece estas cinco funções. As séries mostradas estão na forma de Maclaurin (a = 0), exceto ln(x), que não tem série de Maclaurin porque não é definida em 0 e, portanto, precisa de um ponto central a > 0.

Função Série (em torno de a = 0 salvo indicação) Converge para
eˣ 1 + x + x²/2! + x³/3! + … todos os reais x
sin(x) x − x³/3! + x⁵/5! − … todos os reais x
cos(x) 1 − x²/2! + x⁴/4! − … todos os reais x
ln(x) (centro a>0) ln(a) + (x−a)/a − (x−a)²/2a² + … 0 < x ≤ 2a
arctan(x) x − x³/3 + x⁵/5 − … −1 ≤ x ≤ 1

Exemplo resolvido: eˣ em x = 1

Com as configurações padrão (função eˣ, centro a = 0, 8 termos, avaliar em x = 1) cada coeficiente é 1/k! e, como (x − a)^k = 1, cada termo é igual ao seu coeficiente:

k coeficiente valor do termo
0 1 1
1 1 1
2 0.5 0.5
3 0.166667 0.166667
4 0.041667 0.041667
5 0.008333 0.008333
6 0.001389 0.001389
7 0.000198 0.000198

Os oito termos somam 2.7182540. O valor exato de e é 2.7182818, então o erro absoluto é de cerca de 0.0000279. Adicione mais termos e esse erro continua diminuindo.

Por que as séries de Taylor aparecem em todo lugar

  • Calculadoras avaliam sin, cos, exp internamente usando polinômios de Taylor truncados (e CORDIC).
  • Físicos linearizam equações mantendo apenas os primeiros termos em torno de um equilíbrio, é assim que surgem aproximações de ângulo pequeno como sin(x) ≈ x.
  • Métodos numéricos (Runge-Kutta, método de Newton) são expansões de Taylor nos bastidores.

O problema: convergência

Uma série de Taylor é útil apenas onde converge. A série de Maclaurin de arctan(x) tem raio de convergência 1, então alimente x = 2 e a série explode, embora arctan(2) ≈ 1.107 seja perfeitamente finito. Sempre verifique o raio antes de extrapolar além da vizinhança do centro.

Resto de Lagrange

O erro após truncar no grau n é limitado por:

|R_n(x)| ≤ M · |x - a|^(n+1) / (n+1)!

onde M é um limite superior da (n+1)-ésima derivada no intervalo. Esse é um teto teórico; a calculadora, em vez disso, informa o erro absoluto real, a diferença entre sua aproximação e o valor exato.

Perguntas frequentes

Uma série de Maclaurin é apenas uma série de Taylor expandida em torno de a = 0. Toda série de Maclaurin é uma série de Taylor; o rótulo é uma abreviação histórica para o caso centrado em zero. Defina o centro em 0 nesta ferramenta e você obtém a série de Maclaurin.

Sempre que quiser uma boa aproximação perto de um valor específico de x longe de zero. Para aproximar ln(x) perto de x = 2, defina o centro a = 2; ali converge mais rápido, e para ln(x) um centro positivo é de todo modo necessário.

Apenas se for infinitamente diferenciável no ponto central. Exemplos não analíticos (por exemplo, f(x) = e^(-1/x²) com f(0) = 0) têm todas as derivadas zero em 0, mas não são zero em outros lugares, então a série de Taylor converge para a resposta errada.

Depende de quão longe do centro você está avaliando e do tamanho das derivadas superiores. Observe a coluna de erro absoluto na ferramenta: aumente o número de termos até o erro parar de diminuir de forma perceptível.

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