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Calculadora de projeção de vetores

Etapa 1 / 3 Calculadora de projeção de vetores

Digite as componentes separadas por vírgulas, espaços ou ponto e vírgula. Use o ponto para os decimais.

Próximo: vetor b

A projeção do vetor a sobre o vetor b é a parte de a que aponta na direção de b: a sombra que a lança sobre a reta que passa por b. Digite as componentes dos dois vetores e a calculadora devolve o vetor projeção, a projeção escalar, a componente ortogonal que sobra, o produto escalar e o ângulo entre os dois vetores. Funciona em 2D, em 3D ou com até 20 componentes, e avisa quando b é o vetor nulo, porque um vetor nulo não tem direção para projetar.

Como projetar um vetor sobre outro

  1. 1

    Digite o vetor a

    Digite as componentes do vetor que você quer projetar, separadas por vírgulas, espaços ou ponto e vírgula, por exemplo 3, 4 ou 1, 2, 3. Use o ponto para as casas decimais.

  2. 2

    Digite o vetor b

    Digite o vetor que define a direção. Ele precisa ter o mesmo número de componentes que a e não pode ser formado só por zeros.

  3. 3

    Leia a projeção

    A página de resultados mostra a projeção de a sobre b, a projeção escalar, a componente ortogonal, o ângulo, o produto escalar e o comprimento da projeção. Você pode copiar o vetor projeção.

O que diz a fórmula da projeção vetorial

A projeção vetorial de a sobre b é

proj_b(a) = (a · b / |b|²) b

em que a · b é o produto escalar e |b|² é o produto escalar de b por ele mesmo. A fração é um único número que multiplica b, por isso a projeção fica sempre sobre a reta que passa por b. Se a fração for negativa, a projeção aponta no sentido oposto ao de b, o que acontece quando o ângulo entre os vetores passa de 90 graus.

Os valores que a calculadora mostra

Resultado Fórmula O que significa
Projeção (a · b / |b|²) b A componente de a ao longo de b, como vetor
Projeção escalar a · b / |b| O comprimento com sinal dessa componente
Componente ortogonal a - proj_b(a) O que sobra de a, perpendicular a b
Ângulo arccos(a · b / (|a| |b|)) Entre 0 e 180 graus
Comprimento da projeção |a · b| / |b| A projeção escalar sem o sinal

Somando a projeção e a componente ortogonal, você volta a a, e esse é o objetivo da decomposição: a se divide em uma parte ao longo de b e outra em ângulo reto com b.

Exemplos resolvidos

a b Projeção Projeção escalar Ângulo
(3, 4) (5, 0) (3, 0) 3 53.130102°
(2, 3) (0, 5) (0, 3) 3 33.690068°
(1, 0) (-2, 0) (1, 0) -1 180°
(1, 0) (0, 1) (0, 0) 0 90°
(1, 2, 3) (4, -5, 6) (0.623377, -0.779221, 0.935065) 1.367527 68.562447°

Na primeira linha, a · b = 3 × 5 + 4 × 0 = 15 e |b|² = 25, então o fator é 0,6 e a projeção é 0,6 × (5, 0) = (3, 0). A componente ortogonal é (3, 4) - (3, 0) = (0, 4), que é perpendicular a (5, 0). Os números das tabelas estão escritos como você os digita e como a calculadora os mostra, com ponto decimal.

Projeção escalar versus projeção vetorial

A projeção escalar é um único número com sinal, e a projeção vetorial é esse número vezes o vetor unitário de b. Alguns livros chamam a projeção escalar de componente de a na direção de b. Outros usam a palavra “projeção” para o escalar, então confira a qual das duas o seu curso se refere antes de copiar uma resposta.

Erros comuns

  • Projetar sobre o vetor errado. proj_b(a) e proj_a(b) costumam ser vetores diferentes.
  • Misturar dimensões. Os dois vetores precisam ter o mesmo número de componentes.
  • Usar b = (0, 0). A fórmula divide por |b|², então um vetor nulo não tem projeção.
  • Esquecer o sinal. Uma projeção escalar negativa significa que a se afasta de b.

Perguntas frequentes

A calculadora mostra um erro em vez de um número. A projeção divide pelo quadrado do comprimento de b, e um vetor nulo tem comprimento zero, então não existe direção para projetar. Volte e digite um b com pelo menos uma componente diferente de zero.

Pode. A projeção e a componente ortogonal ficam ambas iguais ao vetor nulo e a projeção escalar é 0. O ângulo aparece como indefinido, porque um ângulo exige dois vetores que tenham, cada um, uma direção.

De 1 a 20. Use dois números para 2D, três para 3D ou mais para dimensões maiores. O vetor a e o vetor b precisam ter o mesmo número de componentes; caso contrário, a calculadora pede que você corrija a diferença.

Separe as componentes com vírgulas, espaços ou ponto e vírgula e use o ponto como separador decimal. Os parênteses são ignorados, então 3, 4 e (3; 4) funcionam do mesmo jeito. A notação científica, como 1.5e-3, também é aceita.

O ângulo entre a e b é maior que 90 graus, então a aponta em parte contra b. A projeção vetorial aponta então no sentido oposto ao de b, e o produto escalar é negativo.

Sim. Ela é a menos a projeção, e seu produto escalar com b é zero, salvo minúsculos erros de arredondamento. Os resultados aparecem com seis casas decimais, então valores exatos como 53.130102 graus ficam arredondados.

A projeção leva a para a reta que passa por b. Uma reflexão espelha a em relação a essa reta e equivale ao dobro da projeção menos a. Esta calculadora mostra a projeção e a componente ortogonal, com as quais você pode montar a reflexão à mão.

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