Calculadora de Covariância
A covariância mede como duas variáveis variam juntas. Covariância positiva significa que tendem a se mover na mesma direção, negativa significa que se movem em direções opostas, e zero significa nenhuma relação linear. Ao contrário da correlação, a covariância está nas unidades originais ao quadrado, então sua magnitude é difícil de interpretar sem contexto. Esta calculadora retorna tanto a covariância amostral (dividindo por n-1) quanto a covariância populacional (dividindo por n).
Como calcular a covariância
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1
Cole os dados emparelhados X/Y
Um X e um Y por linha. Separados por vírgula, tabulação ou espaço. Mesma contagem em cada coluna.
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2
As duas versões são exibidas
A calculadora sempre mostra as duas: a covariância amostral (dividindo por n-1) e a populacional (dividindo por n).
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3
Execute o cálculo
A calculadora calcula as médias e os desvios cruzados e divide por n ou n-1.
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4
Leia o resultado
Leia os dois valores de covariância. Um valor positivo significa que as variáveis tendem a se mover juntas; um negativo, que se movem em direções opostas.
Fórmulas
Covariância amostral: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (n - 1)
Covariância populacional: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / n
O divisor n - 1 (correção de Bessel) torna a covariância amostral um estimador não enviesado da covariância populacional. O software estatístico padrão utiliza a versão amostral.
O sinal é o que importa
| Sinal | Significado |
|---|---|
| Positivo | X e Y tendem a estar acima/abaixo de suas médias juntas |
| Negativo | X acima da média tende a se emparelhar com Y abaixo da média |
| Zero | Nenhum padrão linear (pode ainda ser não-linear) |
A magnitude depende das unidades: cov(altura_cm, peso_kg) para adultos é aproximadamente +70, mas ao mudar para altura em metros, cai para +0,7: mesma relação, número diferente. É por isso que a correlação é mais comumente relatada.
Covariância vs. correlação
correlação = covariância / (σ_X × σ_Y)
A correlação é a versão sem unidade, sempre em [-1, +1], comparável entre conjuntos de dados. A covariância é mais útil dentro de fórmulas (variância de portfólio, regressão, PCA) do que como uma estatística resumida.
Onde a covariância é usada diretamente
- Teoria de portfólio: variância do portfólio = Σ wᵢ wⱼ cov(rᵢ, rⱼ). Você precisa da covariância, não da correlação, porque os pesos e variâncias importam.
- Regressão linear: a estimativa da inclinação β = cov(X, Y) / var(X).
- Análise de componentes principais (PCA): a matriz de covariância é o que é diagonalizado.
- Processamento de sinais: a covariância cruzada mede a similaridade entre sinais em diferentes defasagens.
Erros comuns
- Misturando n e n-1: a covariância amostral e populacional pode diferir em alguns por cento em pequenos conjuntos de dados e causar problemas de reprodutibilidade. Decida qual você precisa e declare isso.
- Interpretando magnitude: uma covariância de 50 não é “grande” por si só; depende inteiramente das unidades e da variância de X e Y.
- Assumindo que covariância zero = independência: covariância zero significa nenhuma relação linear. Duas variáveis podem ter covariância 0 e ainda serem perfeitamente previsíveis de forma não linear (por exemplo, Y = X² em X simétrico).
Perguntas frequentes
Amostral (divida por n-1) quando seus dados são uma amostra de uma população maior, o caso normal em pesquisas. Populacional (divida por n) apenas quando seu conjunto de dados contém literalmente todas as observações possíveis. Padrão para amostral, a menos que você tenha certeza.
Porque a covariância está no produto das duas unidades. Se X está em reais e Y em unidades, a covariância está em real-unidades. Converta para correlação (divida por σ_X × σ_Y) se quiser um número sem unidade.
Não. |cov(X, Y)| ≤ σ_X × σ_Y (Cauchy-Schwarz). A igualdade ocorre apenas quando Y é uma função linear perfeita de X. Se sua calculadora mostra uma covariância maior, há um bug.
Não necessariamente. Covariância zero significa nenhuma relação linear. A função Y = sin(X) em [0, 2π] tem covariância 0 com X, mas é perfeitamente determinada. Apenas para variáveis com distribuição normal conjunta a covariância zero implica independência.
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