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Calculadora de Covariância

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A covariância mede como duas variáveis variam juntas. Covariância positiva significa que tendem a se mover na mesma direção, negativa significa que se movem em direções opostas, e zero significa nenhuma relação linear. Ao contrário da correlação, a covariância está nas unidades originais ao quadrado, então sua magnitude é difícil de interpretar sem contexto. Esta calculadora retorna tanto a covariância amostral (dividindo por n-1) quanto a covariância populacional (dividindo por n).

Como calcular a covariância

  1. 1

    Cole os dados emparelhados X/Y

    Um X e um Y por linha. Separados por vírgula, tabulação ou espaço. Mesma contagem em cada coluna.

  2. 2

    As duas versões são exibidas

    A calculadora sempre mostra as duas: a covariância amostral (dividindo por n-1) e a populacional (dividindo por n).

  3. 3

    Execute o cálculo

    A calculadora calcula as médias e os desvios cruzados e divide por n ou n-1.

  4. 4

    Leia o resultado

    Leia os dois valores de covariância. Um valor positivo significa que as variáveis tendem a se mover juntas; um negativo, que se movem em direções opostas.

Fórmulas

Covariância amostral: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (n - 1)

Covariância populacional: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / n

O divisor n - 1 (correção de Bessel) torna a covariância amostral um estimador não enviesado da covariância populacional. O software estatístico padrão utiliza a versão amostral.

O sinal é o que importa

Sinal Significado
Positivo X e Y tendem a estar acima/abaixo de suas médias juntas
Negativo X acima da média tende a se emparelhar com Y abaixo da média
Zero Nenhum padrão linear (pode ainda ser não-linear)

A magnitude depende das unidades: cov(altura_cm, peso_kg) para adultos é aproximadamente +70, mas ao mudar para altura em metros, cai para +0,7: mesma relação, número diferente. É por isso que a correlação é mais comumente relatada.

Covariância vs. correlação

correlação = covariância / (σ_X × σ_Y)

A correlação é a versão sem unidade, sempre em [-1, +1], comparável entre conjuntos de dados. A covariância é mais útil dentro de fórmulas (variância de portfólio, regressão, PCA) do que como uma estatística resumida.

Onde a covariância é usada diretamente

  • Teoria de portfólio: variância do portfólio = Σ wᵢ wⱼ cov(rᵢ, rⱼ). Você precisa da covariância, não da correlação, porque os pesos e variâncias importam.
  • Regressão linear: a estimativa da inclinação β = cov(X, Y) / var(X).
  • Análise de componentes principais (PCA): a matriz de covariância é o que é diagonalizado.
  • Processamento de sinais: a covariância cruzada mede a similaridade entre sinais em diferentes defasagens.

Erros comuns

  • Misturando n e n-1: a covariância amostral e populacional pode diferir em alguns por cento em pequenos conjuntos de dados e causar problemas de reprodutibilidade. Decida qual você precisa e declare isso.
  • Interpretando magnitude: uma covariância de 50 não é “grande” por si só; depende inteiramente das unidades e da variância de X e Y.
  • Assumindo que covariância zero = independência: covariância zero significa nenhuma relação linear. Duas variáveis podem ter covariância 0 e ainda serem perfeitamente previsíveis de forma não linear (por exemplo, Y = X² em X simétrico).

Perguntas frequentes

Amostral (divida por n-1) quando seus dados são uma amostra de uma população maior, o caso normal em pesquisas. Populacional (divida por n) apenas quando seu conjunto de dados contém literalmente todas as observações possíveis. Padrão para amostral, a menos que você tenha certeza.

Porque a covariância está no produto das duas unidades. Se X está em reais e Y em unidades, a covariância está em real-unidades. Converta para correlação (divida por σ_X × σ_Y) se quiser um número sem unidade.

Não. |cov(X, Y)| ≤ σ_X × σ_Y (Cauchy-Schwarz). A igualdade ocorre apenas quando Y é uma função linear perfeita de X. Se sua calculadora mostra uma covariância maior, há um bug.

Não necessariamente. Covariância zero significa nenhuma relação linear. A função Y = sin(X) em [0, 2π] tem covariância 0 com X, mas é perfeitamente determinada. Apenas para variáveis com distribuição normal conjunta a covariância zero implica independência.

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