Calculadora de produto vetorial
O produto vetorial de dois vetores 3D retorna um terceiro vetor perpendicular a ambos. O seu comprimento é igual à área do paralelogramo gerado pelos dois vetores, e a sua direção segue a regra da mão direita. Isso o torna essencial para as normais de superfície em gráficos 3D, para o torque e o momento angular na física e para qualquer geometria que precise de uma direção perpendicular. Insira as componentes dos vetores A e B e esta ferramenta retorna A × B como (x, y, z) junto com o seu módulo, com o resultado atualizado enquanto você digita.
Como calcular um produto vetorial
-
1
Insira o vetor A
Digite as três componentes ax, ay e az do primeiro vetor.
-
2
Insira o vetor B
Digite as três componentes bx, by e bz do segundo vetor.
-
3
Leia o resultado
O vetor perpendicular A × B é exibido como (x, y, z), junto com o seu módulo.
A fórmula
Para os vetores A = (ax, ay, az) e B = (bx, by, bz), o produto vetorial é:
A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)
Cada componente é um determinante 2×2 dos outros dois eixos, com o sinal do termo central invertido. Um ótimo recurso mnemônico é a expansão do determinante ao longo dos versores i, j, k.
Exemplo resolvido
Tomemos A = (1, 2, 3) e B = (4, 5, 6):
- x: ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
- y: az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
- z: ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3
Portanto A × B = (−3, 6, −3). O seu módulo é √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7,348. Você pode verificar que o resultado é perpendicular: A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0. ✓
Propriedades principais
| Propriedade | Enunciado |
|---|---|
| Anticomutativo | A × B = −(B × A) |
| Vetores paralelos | A × A = 0 (qualquer par paralelo dá 0) |
| Módulo | |A × B| = |A| · |B| · sin(θ) |
| Perpendicular | (A × B) ⊥ A e (A × B) ⊥ B |
| Direção | Regra da mão direita de A para B |
Erros comuns
- A ordem importa. Trocar os vetores inverte o sinal de cada componente, porque o produto vetorial é anticomutativo.
- O produto vetorial só existe em 3D. Diferentemente do produto escalar, A × B é definido para vetores tridimensionais (existe um análogo em 7D, mas é raramente usado). Para vetores 2D, complete a z que falta com 0.
- O sinal do termo central. A componente y é az·bx − ax·bz, não ax·bz − az·bx: o termo j é subtraído na expansão do determinante, e é justamente aí que ocorre a maioria dos erros feitos à mão.
- Vetores paralelos dão zero. Se A e B apontam na mesma direção (θ = 0), o resultado é o vetor nulo, já que sin(0) = 0.
Perguntas frequentes
O produto escalar retorna um único número (um escalar) e mede o quanto dois vetores são paralelos. O produto vetorial retorna um vetor perpendicular a ambos e mede o quanto eles são perpendiculares. Eles respondem a perguntas opostas.
Não diretamente: o produto vetorial é definido para vetores 3D. Para dois vetores 2D você pode definir a componente z como 0; o resultado tem então apenas uma componente z igual a ax·by − ay·bx, frequentemente chamada de “produto vetorial 2D” ou área com sinal.
O módulo é igual à área do paralelogramo gerado pelos dois vetores, e também é |A| · |B| · sin(θ), onde θ é o ângulo entre eles. A metade desse valor é a área do triângulo formado por A e B.
Não. As componentes são enviadas ao servidor apenas para executar o cálculo e nunca são armazenadas numa base de dados nem mantidas depois do fecho da página.
Ferramentas relacionadas
Calculadora de numerologia do nome
Calcule o número do destino e o número de expressão a partir do seu nome completo com numerologia pitagórica, junto com uma leitura de personalidade.
Calculadora de duração de bateria
Calcule quanto tempo uma bateria vai durar a partir da sua capacidade em mAh, da corrente de consumo em mA e de um fator de eficiência de descarga. Obtenha a autonomia em horas, dias e minutos.
Calculadora de capacidade do desumidificador
Estime a capacidade de um desumidificador portátil pela área e umidade, em litros por dia e pints americanos por dia na classificação atual.
Calculadora de tesouras de telhado
Estime posições e espaçamento das tesouras, elevação e comprimentos das águas pela edificação, vão, inclinação e beiral.
Conversor de milhas para quilômetros
Converta milhas em quilômetros com o fator exato 1 mi = 1,609344 km. Inclui tabela de distâncias comuns e atalhos de cálculo mental.
Calculadora de ritmo de corrida
Informe distância e tempo final para calcular ritmo por km, ritmo por milha, velocidade média e tempos projetados para 5 km, 10 km, meia maratona e maratona.