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Calculadora de Matrizes

Etapa 1 / 3
O que você quer calcular?
Próximo: digite os valores

Escolha uma operação, digite uma ou duas matrizes de até 10 × 10 e a calculadora faz o resto: adição, subtração, multiplicação por escalar ou entre matrizes, transposta, inversa, determinante, posto, forma escalonada reduzida ou traço. Os resultados ficam exatos, em frações, e no determinante, na inversa, no posto e na forma escalonada reduzida você vê cada operação elementar sobre as linhas. Útil para lição de casa de álgebra linear, conferências de engenharia, transformações em computação gráfica e sempre que você não quiser escalonar à mão numa calculadora de botões minúsculos.

Como calcular em matrizes

  1. 1

    Escolha a operação

    Some, subtraia ou multiplique A e B, multiplique A por um número k, ou calcule a transposta, o determinante, a inversa, o posto, a forma escalonada reduzida ou o traço de A.

  2. 2

    Digite as matrizes

    Uma linha da matriz por linha de texto, com os elementos separados por espaços ou ponto e vírgula. Valem inteiros, negativos, decimais (`0,5`) e frações (`1/3`), até 10 linhas e 10 colunas.

  3. 3

    Leia o resultado

    O resultado é exato: frações continuam frações e uma matriz singular tem determinante exatamente 0. Quando o resultado tem frações, o valor decimal arredondado a 6 casas aparece logo abaixo.

  4. 4

    Acompanhe os passos

    No determinante, na inversa, no posto e na forma escalonada reduzida, cada operação elementar sobre as linhas é listada, uma coluna pivô por vez.

Operações e suas regras de dimensão

Operação Regra Dimensões do resultado
A + B Mesmas dimensões m×n
A − B Mesmas dimensões m×n
k · A Qualquer A mesma que A
A · B colunas(A) = linhas(B) linhas(A)×colunas(B)
A^T (transposta) Qualquer A n×m
A^−1 (inversa) A é quadrada e det(A) ≠ 0 n×n
det(A) A é quadrada escalar
posto(A) Qualquer A escalar
rref(A) Qualquer A mesma que A
traço(A) A é quadrada escalar

Por que a multiplicação de matrizes não é comutativa

Para matrizes gerais A e B, AB ≠ BA mesmo quando ambos os produtos estão definidos. Cada entrada de AB é um produto escalar de uma linha de A com uma coluna de B; trocar a ordem altera diferentes linhas e colunas. Matrizes comutativas são a exceção (múltiplos da identidade, matrizes diagonais com entradas distintas, algumas rotações que compartilham um eixo).

Teste rápido de invertibilidade

  • Uma matriz quadrada é invertível se e somente se det(A) ≠ 0.
  • Invertível ⇔ posto completo ⇔ colunas são linearmente independentes ⇔ espaço nulo trivial.
  • Para uma 2×2: A^−1 = 1/det(A) · [[d, −b], [−c, a]].
  • Para matrizes maiores, a eliminação de Gauss-Jordan (aumentar com I, reduzir a linha para [I | A^−1]) é o que a calculadora usa.

Armadilhas comuns

  • Incompatibilidade de dimensões. O erro mais comum. A calculadora sinaliza isso cedo e informa exatamente quais dimensões não concordam.
  • Matrizes quase singulares. Em programas de ponto flutuante, uma matriz com determinante próximo de zero gera uma inversa cheia de erros de arredondamento, e uma matriz singular pode sair com um determinante minúsculo diferente de zero, como 1,7 · 10⁻¹⁷. Esta calculadora trabalha com frações exatas: uma matriz singular tem determinante exatamente 0, e uma quase singular recebe a inversa exata, que simplesmente tem elementos muito grandes.
  • Frações e decimais. Digite 1/3 ou 0,25 e todas as operações continuam exatas, porque somar, multiplicar, escalonar e inverter números racionais sempre dá números racionais. Os decimais que você digita voltam como decimais quando o resultado tem representação decimal finita; caso contrário, você recebe a fração e o valor decimal arredondado a 6 casas.

Usos fora do dever de casa

  • Gráficos computacionais: matrizes de transformação 4×4 para translação, rotação, escalonamento em 3D.
  • Física: tensores de estresse e inércia.
  • Aprendizado de máquina: matrizes de pesos em camadas densas; matrizes de covariância; PCA.
  • Redes e modelos de Markov: matrizes de transição e suas potências.
  • Economia: modelos de insumo-produto (Leontief).

Perguntas frequentes

Até 10 linhas e 10 colunas por matriz. Isso cobre lição de casa, preparação para provas e a maioria das conferências de engenharia. Para sistemas maiores, use uma biblioteca numérica como NumPy ou Octave.

Sim, em todas as operações. As contas são feitas com frações exatas, então 1/3 continua 1/3 e uma matriz singular tem determinante exatamente 0, e não um resto minúsculo como 1,7 · 10⁻¹⁷. Quando o resultado tem frações, o valor decimal arredondado a 6 casas também aparece.

Eliminação de Gauss-Jordan: aumente A com a identidade, reduza a linha para a forma escalonada reduzida. Se a metade esquerda se torna I, a metade direita é A^−1; se não, A é singular e não tem inversa.

Não, esta calculadora é apenas para números reais. Para matrizes complexas, use uma ferramenta dedicada para matrizes complexas.

Sim. As matrizes que você digita são enviadas ao nosso servidor, que faz as contas, e entre uma etapa e outra da calculadora elas viajam no link da página, por isso também ficam no histórico do seu navegador.

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