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Calculadora de Determinante de Matriz

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O determinante de uma matriz quadrada é um escalar único que indica se a matriz é invertível (determinante diferente de zero), quanto ela escala o volume assinado e se inverte a orientação. Insira uma matriz de 2×2 até 10×10 e a calculadora retorna det(A) com uma expansão completa de cofatores (matrizes pequenas) ou passos de decomposição LU (maiores), para que você possa seguir a álgebra linha por linha.

Como o determinante é calculado

  1. 1

    Insira uma matriz quadrada

    Linhas = colunas. Decimais e negativos OK.

  2. 2

    Escolha o método

    Expansão de cofatores (instrução, matrizes pequenas) ou decomposição LU (rápido, matrizes maiores).

  3. 3

    Leia o determinante

    O resultado escalar, com sinal.

  4. 4

    Siga os passos

    Para cofatores, cada menor e seu sinal são mostrados. Para LU, a sequência de operações de linha.

O que o determinante te diz

  • Diferente de zero: a matriz é invertível; suas colunas são linearmente independentes; define um mapeamento linear bijetivo.
  • Zero: a matriz é singular; colunas são linearmente dependentes; o mapeamento colapsa pelo menos uma dimensão.
  • Sinal: positivo significa que o mapeamento linear preserva a orientação; negativo significa que inverte (como uma imagem espelhada).
  • Magnitude: |det(A)| é o fator pelo qual o mapeamento escala o volume n-dimensional. Uma 2×2 com det 3 escala áreas por 3; det −2 escala áreas por 2 e as inverte.

Casos pequenos: faça à mão

2×2:

det([[a, b], [c, d]]) = a·d − b·c

3×3 (regra de Sarrus):

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) para [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]].

Casos maiores: use LU

Calcular manualmente um determinante 4×4 via expansão de cofatores leva 4! = 24 multiplicações. Um 6×6 leva 720. A decomposição LU reduz o trabalho para O(n³): fatorar A = LU onde L é triangular inferior com 1s na diagonal e U é triangular superior; então det(A) = det(L)·det(U) = ∏ u_ii.

Propriedades que vale a pena conhecer

  • det(AB) = det(A)·det(B).
  • det(A^T) = det(A).
  • det(A^−1) = 1 / det(A).
  • det(kA) = k^n · det(A) para uma matriz n×n.
  • Trocar duas linhas nega o determinante.
  • Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não muda o determinante.
  • Se qualquer linha (ou coluna) for toda zeros, o determinante é zero.

Erros comuns

  • Esquecer o padrão de sinal na expansão de cofatores: + − + − + − .... O cofator (i,j) é (−1)^(i+j) vezes o menor.
  • Expandir ao longo de uma linha com entradas diferentes de zero quando há uma linha com três zeros. Escolha a linha ou coluna com mais zeros para facilitar o trabalho.
  • Assumir que det(A+B) = det(A) + det(B). Não é verdade. O determinante é multiplicativo, não aditivo.

Perguntas frequentes

Ele indica se o mapeamento linear preserva a orientação. Um determinante positivo significa que um sistema de coordenadas destro permanece destro; negativo significa que se torna canhoto (uma reflexão).

Não, o determinante é definido apenas para matrizes quadradas. Para não quadradas, os análogos mais próximos são valores singulares ou o determinante de Gram de uma submatriz.

Trocar duas linhas: o sinal inverte. Escalar uma linha por k: o determinante multiplica por k. Adicionar um múltiplo de uma linha a outra: o determinante permanece inalterado. A decomposição LU usa apenas a terceira operação, preservando o determinante durante a redução.

LU básico não é, falha em matrizes com um pivô zero. LU com pivoteamento parcial (o padrão da calculadora) troca linhas para evitar pivôs pequenos e é estável para a maioria das matrizes reais.

Aritmética de precisão dupla, então cerca de 15–16 dígitos significativos. Matrizes quase singulares (det ≈ 0) acumulam erro; se o valor absoluto for pequeno, trate-o como provavelmente zero em vez de confiar nos últimos decimais.

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