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Calculadora de Inversa de Matriz

Etapa 1 / 2 Matriz quadrada
Resultados

A inversa de uma matriz quadrada A é a matriz A^−1 tal que A · A^−1 = I. Insira uma matriz quadrada de até 10×10 e a calculadora a aumenta com a identidade, executa a eliminação de Gauss-Jordan com pivoteamento parcial e retorna A^−1 junto com cada operação de linha realizada no processo. Se a matriz for singular (det = 0), a ferramenta para e informa onde a redução falhou.

Como a inversa é calculada

  1. 1

    Insira uma matriz quadrada

    Mesma quantidade de linhas e colunas. 2×2 até 10×10.

  2. 2

    A ferramenta verifica a invertibilidade

    Calcula det(A) primeiro. Se zero, a matriz é singular e não tem inversa.

  3. 3

    Aumentar com a identidade

    Forma o bloco [A | I] pronto para Gauss-Jordan.

  4. 4

    Reduzir linhas para [I | A^−1]

    Cada operação de linha é registrada; o bloco da direita se torna a inversa.

  5. 5

    Verificar

    A ferramenta multiplica A · A^−1 de volta e exibe o resultado, que deve ser a identidade dentro da precisão numérica.

Quando uma inversa existe

Uma matriz quadrada A é invertível se e somente se det(A) ≠ 0. Condições equivalentes:

  • Colunas são linearmente independentes.
  • Linhas são linearmente independentes.
  • O espaço nulo é trivial (apenas o vetor zero).
  • A tem posto completo (posto = n).
  • O sistema linear Ax = b tem uma solução única para cada b.

O atalho 2×2

Para A = [[a, b], [c, d]]:

A^−1 = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]

Troque a diagonal, inverta o sinal dos elementos fora da diagonal, divida pelo determinante.

Gauss-Jordan em uma imagem

Início: [A | I].

Fim: [I | A^−1].

As operações de linha que transformam A em I, aplicadas a I, a transformam em A^−1.

Por que o pivoteamento parcial é importante

Sem ele, o algoritmo escolhe a entrada diagonal da linha atual como o pivô. Se essa entrada for zero ou muito pequena, a divisão explode. O pivoteamento parcial troca a linha com o maior pivô absoluto, tornando o cálculo numericamente estável.

Verificando seu resultado

Multiplique A · A^−1. Você deve obter a matriz identidade (dentro de um pequeno erro numérico). Se você ver entradas notavelmente diferentes de 1 na diagonal ou diferentes de 0 em outros lugares, a matriz é quase singular e a inversa numérica é não confiável, ela existe em teoria, mas a resposta computada pode estar errada em muitos dígitos.

Exemplo 2×2 resolvido

A = [[4, 7], [2, 6]]

  • det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10 (não zero, invertível).
  • Troque e negue: [[6, −7], [−2, 4]].
  • Divida por 10: A^−1 = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].
  • Verifique: A · A^−1 = [[1, 0], [0, 1]]. ✓

Dicas

  • Use aritmética exata para matrizes pequenas (2×2, 3×3) para obter frações limpas. Flutuantes introduzem arredondamento mesmo para entradas inteiras simples.
  • Não inverta para resolver Ax = b em código de produção. Reduza as linhas do sistema aumentado [A | b] em vez disso; resolver é mais rápido e mais estável do que inverter e depois multiplicar.
  • Número de condição. Se cond(A) é grande (digamos >10^10 em precisão dupla), a inversa numérica é duvidosa, embora exista.

Perguntas frequentes

Singular significa que o determinante é zero, o que pode acontecer quando as colunas são linearmente dependentes, uma coluna é um múltiplo de outra, ou uma é a soma de duas outras. Entradas não zero não garantem independência.

Não. Matrizes não quadradas têm pseudo-inversas (Moore-Penrose), que são definidas para qualquer matriz, mas não são verdadeiras inversas. Use uma ferramenta de pseudo-inversa dedicada se precisar de uma.

Para entradas inteiras até um tamanho razoável, sim, os resultados permanecem racionais. Para flutuantes ou entradas irracionais, a calculadora muda para precisão dupla.

Até 10×10 confortavelmente no navegador. Além disso, use uma biblioteca numérica com BLAS.

Arredondamento na aritmética de precisão dupla. As entradas podem ser 1.000000000000002 em vez de 1. Para matrizes mal condicionadas, o desvio pode ser maior. Se você precisar de inversas exatas, use o modo exato-racional em uma matriz pequena.

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