Calculadora de Matriz Inversa

Quando uma matriz tem inversa?

Para uma matriz quadrada A, a inversa A⁻¹ satisfaz A × A⁻¹ = I, sendo I a matriz identidade. A inversa existe exatamente quando det(A) ≠ 0. De forma equivalente, há um pivô em cada coluna. Uma matriz retangular não tem inversa matricial comum.

Como digitar a matriz

Digite uma linha por vez e separe os valores por espaços ou vírgulas. Por exemplo:

4 7
2 6

Essa entrada representa [[4, 7], [2, 6]]. Todas as linhas devem ter a mesma quantidade de valores, e o número de linhas deve ser igual ao de colunas. Para decimais, use ponto (0.5), mesmo no site em português; frações de números inteiros (1/2) e notação científica (1e-3) também são aceitas. Cada valor é convertido em um número racional exato. O tamanho permitido vai de 1×1 a 10×10.

Exemplo resolvido de matriz 2×2

Para A = [[4, 7], [2, 6]], o determinante é 4 × 6 − 7 × 2 = 10. Como ele é diferente de zero, A tem inversa. Pela fórmula da matriz 2×2:

A⁻¹ = (1/10) × [[6, −7], [−2, 4]] = [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]].

Para conferir o resultado de forma independente, multiplique a matriz original pela inversa proposta:

A × A⁻¹ = [[4(3/5) + 7(−1/5), 4(−7/10) + 7(2/5)], [2(3/5) + 6(−1/5), 2(−7/10) + 6(2/5)]] = [[1, 0], [0, 1]].

O que mostram as etapas de Gauss-Jordan

O cálculo começa com [A | I]. Trocas de linhas, divisões pelo pivô e eliminações transformam o lado esquerdo em I. As mesmas operações transformam o lado direito em A⁻¹, formando [I | A⁻¹]. A lista acompanha as operações realmente realizadas. Em matrizes maiores, apenas algumas etapas mostram a matriz aumentada exata para facilitar a leitura; as operações entre elas continuam listadas.

Resultados exatos e limites de cálculo

Todo cálculo concluído com sucesso usa aritmética racional exata para o determinante, a inversa, as operações de linha e a multiplicação de verificação. Os resultados são mostrados como números inteiros ou frações irredutíveis. Por exemplo, digitar 0.1 representa exatamente 1/10.

A calculadora aceita entradas de até 4.096 caracteres, no máximo 12 algarismos por mantissa numérica (ou por numerador e denominador de uma fração) e expoentes de notação científica com valor absoluto de até 400. O cálculo também é interrompido com uma mensagem de limite se um numerador ou denominador intermediário ultrapassar 512 algarismos. Esses limites evitam que um cálculo exato muito grande esgote os recursos do serviço; uma mensagem de limite não significa que a matriz seja singular.

A verificação multiplica a matriz original A pela inversa calculada A⁻¹ independentemente da redução de linhas. Um resultado bem-sucedido mostra a matriz identidade completa.

Para resolver apenas um sistema Ax = b, resolva o sistema diretamente em vez de calcular A⁻¹ e depois multiplicar por b. Em geral, isso exige menos operações.