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Calculadora de Multiplicação de Matrizes

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Insira a matriz A (m×n) e a matriz B (n×p). Se as colunas de A corresponderem às linhas de B, a calculadora retorna o produto AB, uma matriz m×p. Cada entrada do resultado é o produto escalar de uma linha de A com uma coluna de B, e a ferramenta mostra cada uma dessas somas de produto escalar explicitamente, para que você possa acompanhar a álgebra sem precisar acreditar em nada.

Como funciona a multiplicação de matrizes

  1. 1

    Defina as dimensões

    Linhas/colunas de A e B. As colunas de A devem ser iguais às linhas de B.

  2. 2

    Insira os valores

    Preencha cada célula; decimais e negativos são aceitos.

  3. 3

    Leia o produto

    C = A·B, com dimensões linhas(A) × colunas(B).

  4. 4

    Expanda uma célula

    Toque em qualquer C_ij para ver o produto escalar linha_i(A) · coluna_j(B) com cada produto listado.

A regra

(AB)_ij = Σ_k A_ik · B_kj

A entrada (i, j) do produto é a soma dos produtos que emparelha a linha i de A com a coluna j de B.

Exemplo resolvido 2×2

A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]].

  • C_11 = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
  • C_12 = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
  • C_21 = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
  • C_22 = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50

AB = [[19, 22], [43, 50]].

Verifique a outra ordem: BA = [[23, 34], [31, 46]]. Não é igual a AB, a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Compatibilidade de dimensões

Dimensões A Dimensões B Compatível? Dimensões do produto
2×3 3×4 Sim 2×4
3×3 3×3 Sim 3×3
2×3 4×3 Não -
1×n n×1 Sim 1×1 (escalar)
n×1 1×n Sim n×n (produto externo)

Propriedades

  • Associativa: A(BC) = (AB)C.
  • Distributiva: A(B + C) = AB + AC.
  • NÃO comutativa: AB ≠ BA em geral.
  • Identidade: AI = IA = A onde I é a identidade de tamanho apropriado.
  • Matriz nula: A · 0 = 0, mas tenha cuidado, AB = 0 NÃO implica que A = 0 ou B = 0.

Por que a ordem importa em aplicações

  • Gráficos de computador: matrizes de transformação se compõem da direita para a esquerda. M_tela = M_projeção · M_visão · M_modelo. Trocar escala e rotação dá um resultado diferente.
  • Rotações: rotacionar em torno de X e depois Y não é o mesmo que Y e depois X.
  • Cadeias de Markov: a matriz de transição vezes o vetor de estado avança um passo; trocar a ordem não faz sentido.

Complexidade computacional

A multiplicação padrão de duas matrizes n×n é O(n³) operações. O algoritmo de Strassen reduz para O(n^2.81), e os limites teóricos são ainda menores, mas para matrizes de algumas centenas de tamanho, o método padrão é o mais rápido na prática, graças a padrões de acesso amigáveis ao cache.

Perguntas frequentes

As colunas da primeira devem corresponder às linhas da segunda. 2×3 · 2×3 falha porque A tem 3 colunas, mas B tem 2 linhas. Você precisaria transpor B: 2×3 · 3×2 é aceitável e produz uma 2×2.

Para escalar vezes matriz, use a calculadora de matriz geral, esta ferramenta é especificamente para multiplicar duas matrizes.

Porque cada entrada de AB é um produto escalar de uma linha de A com uma coluna de B; trocar os pontos diferentes linhas com diferentes colunas. Apenas pares especiais (A e seu próprio inverso, A e a identidade, matrizes diagonais com entradas distintas) acontecem de comutar.

Sim. Um vetor 1×n vezes um vetor n×1 é um escalar 1×1 (produto escalar). O inverso, n×1 vezes 1×n, produz um produto externo n×n, uma matriz de posto 1.

Não. A multiplicação é realizada no seu navegador; os valores nunca saem do seu dispositivo.

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