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Calculadora de distribuição normal

Etapa 1 / 3 Probabilidade
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Informe à calculadora uma média, um desvio padrão e um valor bruto ou uma probabilidade, e ela devolve o escore z, a área sob a curva (probabilidade acumulada) e o percentil correspondente. Ela trata probabilidades de cauda esquerda, cauda direita e bicaudais: tudo o que uma lista de exercícios de estatística do primeiro ano ou um relatório de controle de qualidade costuma exigir.

Como calcular probabilidades da distribuição normal

  1. 1

    Informe a média e o desvio padrão

    Para a normal padrão, use média 0 e desvio padrão 1. Para o QI, use média 100 e desvio padrão 15.

  2. 2

    Escolha o tipo de problema

    P(X < x), P(X > x), P(a < X < b), ou encontre x a partir de uma probabilidade dada.

  3. 3

    Informe o valor ou a probabilidade

    Pode ser um número bruto da distribuição ou uma probabilidade de cauda como 0,05.

  4. 4

    Leia o escore z e a probabilidade

    A ferramenta mostra o escore z, a probabilidade acumulada e o percentil.

As fórmulas

O escore z padroniza qualquer valor:

z = (x − μ) / σ

A função de distribuição acumulada Φ(z) dá a probabilidade de uma variável normal padrão ficar abaixo de z. Como Φ não tem forma fechada, as calculadoras recorrem a aproximações numéricas (a mais comum é o polinômio racional de Abramowitz e Stegun, preciso até sete casas decimais).

Regra empírica (68-95-99,7)

Intervalo Probabilidade
μ ± 1σ 68,27%
μ ± 2σ 95,45%
μ ± 3σ 99,73%
μ ± 1,96σ (intervalo de confiança clássico de 95%) 95,00%
μ ± 2,576σ (intervalo de confiança de 99%) 99,00%

Valores críticos de z mais comuns

  • Unilateral, α = 0,05: z = 1,645
  • Bilateral, α = 0,05: z = ±1,96
  • Bilateral, α = 0,01: z = ±2,576
  • Bilateral, α = 0,001: z = ±3,291

Dicas rápidas de interpretação

  • Um z positivo indica valor acima da média; um z negativo, abaixo dela.
  • |z| > 2 já é território raro: cerca de 5% da distribuição.
  • |z| > 3 é muito raro, cerca de 0,3%, e costuma servir de limite para valores atípicos na indústria.
  • O percentil é Φ(z) × 100. Um z de 1,0 corresponde ao 84º percentil.

Onde ela aparece

A pontuação de testes padronizados (SAT, QI), o controle de qualidade (seis sigma), os modelos de risco financeiro (o VaR pressupõe normalidade, muitas vezes sem razão) e inúmeros testes de hipóteses nas ciências experimentais se apoiam nas probabilidades da distribuição normal.

Perguntas frequentes

Por causa do teorema central do limite. Somas e médias de muitas variáveis aleatórias independentes tendem à distribuição normal, sejam quais forem as distribuições de origem. É isso que torna a normal uma boa aproximação para as médias amostrais de muitos processos do mundo real.

Exatamente normais, raramente; aproximadamente normais, com frequência. Alturas, erros de medição e escores de QI ficam perto da normal. Já os retornos financeiros, os tempos de espera e muitas contagens naturais não: têm caudas mais pesadas ou são assimétricos. Faça sempre o gráfico antes de supor qualquer coisa.

É “a quantos desvios padrão da média este valor está”. Um z de +2 significa “dois desvios padrão acima da média”, o que coloca o valor por volta do 97,7º percentil se a distribuição for normal.

A calculadora usa uma aproximação numérica precisa até cerca de sete casas decimais para |z| < 6. Além disso, as probabilidades ficam tão pequenas que os números de ponto flutuante de precisão dupla esgotam a precisão disponível; use software de precisão arbitrária para trabalhar nas caudas mais extremas.

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