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Calculadora de progressão aritmética

Etapa 1 / 3 Termo de ordem n
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Informe o primeiro termo, a razão e quantos termos você quer, e esta calculadora de progressão aritmética devolve o termo de ordem n, a soma dos n primeiros termos e uma pré-visualização da própria progressão. Uma progressão aritmética é aquela em que você soma sempre a mesma quantidade fixa para passar de um termo ao seguinte, de modo que ela cresce (ou decresce) em linha perfeitamente reta. Os resultados se atualizam enquanto você digita, sem atalhos de arredondamento e sem nada para instalar.

Como a calculadora funciona

  1. 1

    Informe o primeiro termo e a razão

    Digite o valor inicial a₁ e a razão d somada entre cada termo.

  2. 2

    Escolha quantos termos

    Defina n, a posição do termo que você procura e a quantidade de termos a somar.

  3. 3

    Leia os resultados

    Veja o termo de ordem n, a soma dos n primeiros termos e uma pré-visualização da progressão.

As fórmulas da progressão aritmética

Uma progressão aritmética tem um salto constante, a razão d, entre termos consecutivos. Duas fórmulas fazem todo o trabalho:

termo de ordem n:  a_n = a₁ + (n − 1) · d
soma:              S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)

Aqui a₁ é o primeiro termo, d é a quantidade somada a cada passo (pode ser negativa para uma progressão decrescente) e n é quantos termos você está contando. A fórmula da soma é apenas a média do primeiro e do último termo, multiplicada pela quantidade de termos.

Um exemplo resolvido

Tome a₁ = 2 e d = 3. A progressão é 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 …

Para achar o 10º termo:

a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29

Para somar os 10 primeiros termos:

S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155

Assim, o 10º termo é 29 e a soma acumulada é 155.

Termos, razões e somas parciais

n aₙ = 2 + (n−1)·3 Sₙ (soma dos n primeiros)
1 2 2
2 5 7
5 14 40
10 29 155

Repare que cada termo sobe exatamente d = 3, a marca de uma progressão aritmética (não geométrica). A soma parcial Sₙ cresce mais rápido que os próprios termos, porque cada passo acrescenta toda a linha acumulada, não apenas o último valor.

Uma conferência rápida: a soma é igual ao número de termos vezes a média do primeiro e do último termo. Para n = 10 isso dá 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15,5 = 155, o que coincide exatamente com a tabela.

Erros comuns

  • Errar por um na contagem de n. A fórmula usa (n − 1)·d, não n·d. Ao primeiro termo não se soma nenhuma razão, então a₁ = 2, não 5.
  • Confundir aritmética com geométrica. As progressões aritméticas somam uma razão fixa d; as geométricas multiplicam por uma razão fixa. Se os seus saltos não param de dobrar, você precisa de uma ferramenta para progressões geométricas.
  • Razões negativas são válidas. Uma razão de d = −4 dá uma progressão decrescente; as mesmas fórmulas continuam valendo.

Perguntas frequentes

Uma lista de números em que cada termo difere do anterior pela mesma quantidade fixa, chamada razão. Por exemplo, 3, 7, 11, 15 tem razão 4.

Use a_n = a₁ + (n − 1)·d, em que a₁ é o primeiro termo, d é a razão e n é a posição que você procura. Esta calculadora aplica isso para você na hora.

Com S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1)·d), que equivale ao número de termos vezes a média do primeiro e do último termo. Funciona com razões positivas, negativas ou nulas.

Os números que você informa são enviados aos nossos servidores apenas para calcular os resultados. Eles não são armazenados nem compartilhados com terceiros. Ao usar o assistente passo a passo, os valores também viajam no link da página entre as etapas; portanto, evite compartilhar links que contenham números que você queira manter privados.

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