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Calculadora de autovalores

Etapa 1 / 4 Matriz A
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Use esta calculadora de autovalores para resolver uma matriz real 2×2 a partir dos seus quatro elementos. A ferramenta calcula o traço, o determinante, o polinômio característico, o discriminante e os autovalores, e em seguida mostra os autovetores reais quando os dois autovalores são distintos e reais. Foi feita para as listas de exercícios de álgebra linear, para conferências rápidas em modelos de engenharia e para checar a conta antes de diagonalizar uma matriz pequena no papel.

Como encontrar os autovalores

  1. 1

    Digite os elementos da matriz

    Preencha a, b, c e d para a matriz A = [[a, b], [c, d]]. Valores decimais e negativos são aceitos.

  2. 2

    Monte a equação característica

    A calculadora usa o traço T = a + d e o determinante D = ad - bc para formar λ² - Tλ + D = 0.

  3. 3

    Classifique as raízes

    O discriminante T² - 4D determina se os autovalores são dois valores reais, um valor repetido ou um par de complexos conjugados.

Fórmula para uma matriz 2×2

Para A = [[a, b], [c, d]], os autovalores são as raízes de:

det(A - λI) = 0

Expandindo esse determinante, obtemos:

λ² - Tλ + D = 0

Onde:

  • T = a + d é o traço.
  • D = ad - bc é o determinante.
  • Δ = T² - 4D é o discriminante.

Então:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Exemplo resolvido

Para A = [[2, 1], [1, 2]], o traço é T = 2 + 2 = 4 e o determinante é D = 2·2 - 1·1 = 3. O polinômio característico fica:

λ² - 4λ + 3 = 0

O discriminante é Δ = 4² - 4·3 = 4, portanto os autovalores são:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Para o autovalor 3, um autovetor é [1, 1]. Para o autovalor 1, um autovetor é [1, -1]. Qualquer múltiplo escalar não nulo desses vetores também é um autovetor válido.

O que o discriminante significa

Discriminante Δ Caso dos autovalores O que esperar
Δ > 0 Dois autovalores reais Duas raízes reais distintas e, em uma matriz 2×2, dois autovetores independentes quando a matriz é diagonalizável nos reais.
Δ = 0 Autovalor repetido Uma raiz dupla. O autoespaço pode ter uma ou duas dimensões, então confira os autovetores separadamente se a diagonalização importar.
Δ < 0 Par de complexos conjugados Não há autovalores reais. As raízes têm a mesma parte real e partes imaginárias opostas.

Erros comuns

  • Montar A - λI errado. Só os elementos da diagonal mudam: a - λ e d - λ.
  • Esquecer o sinal do determinante. Em uma matriz 2×2, D = ad - bc, e não ad + bc.
  • Achar que um autovalor repetido já é diagonalizável. Uma raiz dupla ainda precisa de autovetores independentes suficientes.
  • Arredondar cedo demais. Mantenha o traço, o determinante e o discriminante exatos o máximo possível, principalmente com decimais.

Perguntas frequentes

A ferramenta trabalha com matrizes reais 2×2. Assim o resultado fica transparente: cada valor vem do traço, do determinante e do polinômio característico do segundo grau.

Pode. Se o discriminante T² - 4D for negativo, os autovalores formam um par de complexos conjugados. Uma matriz de rotação como [[0, -1], [1, 0]] é o exemplo clássico.

A calculadora mostra os autovetores quando os autovalores reais são distintos, pois aí é possível exibir um vetor real simples para cada raiz. Os casos repetidos e complexos exigem contexto extra, então a ferramenta se concentra nos autovalores e na classificação.

Nenhum arquivo é enviado. Os elementos são avaliados pelo componente da página para produzir o traço, o determinante, o polinômio e os autovalores.

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