Calculadora de Raiz Quadrada
Insira um número positivo e a calculadora retorna sua raiz quadrada em forma decimal com 15 dígitos e, quando possível, sua forma radical simplificada exata — √72 se torna 6√2, √200 se torna 10√2. Para quadrados perfeitos, você obtém um inteiro; para negativos, você recebe a notação i com a unidade imaginária destacada.
Como a raiz é calculada
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1
Insira o radicando
O número sob a raiz. Positivo, negativo ou zero.
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2
Forma decimal
Calculado via a instrução de raiz quadrada IEEE 754 — preciso até 15 dígitos significativos.
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3
Forma radical simplificada
Fatore divisores quadrados perfeitos. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
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4
Mostre o trabalho
A fatoração passo a passo é exibida para que você possa reproduzi-la manualmente.
Quadrados perfeitos para conhecer
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
Simplificando não quadrados perfeitos
O truque é encontrar o maior fator quadrado perfeito:
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
Se o resultado ainda tiver um fator não quadrado, repita: √180 = √(36 × 5) = 6√5, não √(4 × 45) = 2√45 (não totalmente simplificado).
Valores decimais comuns
- √2 ≈ 1.41421 (Pitágoras em um quadrado unitário)
- √3 ≈ 1.73205 (diagonal de um cubo)
- √5 ≈ 2.23607 (aparece na razão áurea (1+√5)/2)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1.77245 (usado em estatísticas, integrais gaussianas)
- √10 ≈ 3.16228
- √(1000) ≈ 31.6228 (cada aumento de 10x aumenta √ em ~3.16x)
Números negativos e imaginários
A raiz quadrada de um número negativo não é definida nos reais. Nos números complexos, √(−x) = i√x para x positivo. Assim, √(−4) = 2i. A calculadora reporta a forma imaginária em vez de um decimal para entradas negativas.
Raiz quadrada vs raiz enésima
A calculadora lida com raízes quadradas (2ª). Para raízes cúbicas, raízes quartas, etc., use uma ferramenta geral de raiz enésima. Identidades principais:
- √(ab) = √a × √b (somente se a e b forem não negativos)
- √(a/b) = √a / √b (somente se b > 0)
- (√a)² = a (somente se a >= 0)
Ponto histórico
O símbolo radical √ evoluiu da letra r (para radix, raiz em latim) nos anos 1500. A barra horizontal (o vínculo) foi adicionada no século 17 para delimitar o que está sob a raiz.
Perguntas frequentes
Todo número positivo tem duas raízes quadradas: +x e −x. A raiz principal (a não negativa) é a que √ geralmente se refere. Equações quadráticas usam ambas.
Apenas 5, por convenção. √ retorna a raiz principal (não negativa). Ao resolver x² = 25, tanto 5 quanto −5 satisfazem a equação, então você escreve x = ±5.
Métodos históricos: algoritmo de divisão longa dígito a dígito, método de Newton (iterativo: x_new = (x + a/x)/2), ou fatorar e simplificar para raízes de números ricos em quadrados perfeitos. O método de Newton converge rapidamente — três iterações dão precisão de 10 dígitos para a maioria das entradas.
Provado pelos gregos por contradição: se √2 = p/q em termos mais baixos, então 2q² = p², tornando p par, então p = 2k, depois 2q² = 4k², dando q² = 2k², tornando q par também — contradizendo termos mais baixos. Assim, √2 não pode ser uma fração; é irracional.