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Calculadora de raiz quadrada

Etapa 1 / 4 Raiz quadrada

Digite qualquer número. Para entradas não negativas, a calculadora retorna a raiz quadrada principal em forma decimal; para inteiros positivos, ela também mostra uma forma radical simplificada quando possível: √72 = 6√2 e √200 = 10√2. Quadrados perfeitos retornam números inteiros. Entradas negativas são marcadas como complexas, e o guia abaixo explica como √(−x) se torna i√x.

Como a raiz é calculada

  1. 1

    Digite o radicando

    Informe o número que fica sob o sinal de raiz. Ele pode ser positivo, negativo ou zero.

  2. 2

    Leia o resultado decimal

    Para entradas não negativas, a calculadora retorna a raiz principal usando o cálculo padrão de raiz quadrada em ponto flutuante.

  3. 3

    Confira a forma radical simplificada

    Para inteiros positivos, fatores que são quadrados perfeitos são retirados do radical. √72 = √(36 × 2) = 6√2.

  4. 4

    Use as notas para conferir

    Os exemplos abaixo mostram o método por fatores, valores decimais comuns e a diferença entre raízes reais e complexas.

Quadrados perfeitos úteis

n n² √(n²)
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
5 25 5
10 100 10
11 121 11
12 144 12
13 169 13
14 196 14
15 225 15
16 256 16
25 625 25

Simplificar números que não são quadrados perfeitos

Para números inteiros, procure o maior fator que seja um quadrado perfeito:

  • √50 = √(25 × 2) = 5√2
  • √72 = √(36 × 2) = 6√2
  • √108 = √(36 × 3) = 6√3
  • √500 = √(100 × 5) = 10√5
  • √1000 = √(100 × 10) = 10√10

Se sobrar um fator que não é quadrado, deixe-o dentro do radical. Por exemplo, √180 = √(36 × 5) = 6√5, não √(4 × 45) = 2√45, porque 45 ainda contém o fator quadrado perfeito 9.

Valores decimais comuns e usos

  • √2 ≈ 1,41421 (geometria escolar: a diagonal de um quadrado 1 × 1)
  • √3 ≈ 1,73205 (diagonal espacial de um cubo unitário)
  • √5 ≈ 2,23607 (aparece na razão áurea (1+√5)/2)
  • √7 ≈ 2,64575
  • √π ≈ 1,77245 (estatística e integrais gaussianas)
  • √10 ≈ 3,16228
  • √(1000) ≈ 31,6228 (aumentar o número 10 vezes multiplica a raiz por cerca de 3,16)

Em construção ou medições, raízes quadradas frequentemente transformam área em comprimento de lado: um pátio quadrado de 49 m² tem lado √49 = 7 m, enquanto um espaço quadrado de 80 m² tem lado √80 = 4√5 m ≈ 8,94 m.

Números negativos e raízes complexas

A raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Nos números complexos, √(−x) = i√x para x positivo, portanto √(−4) = 2i. A calculadora ao vivo marca entradas negativas como complexas em vez de mostrar um decimal real.

Raiz quadrada x raiz n-ésima

Esta calculadora trata raízes quadradas, isto é, raízes de índice 2. Para raízes cúbicas, quartas raízes e outros índices, use uma ferramenta geral de raiz n-ésima. Identidades importantes:

  • √(ab) = √a × √b (somente se a e b forem não negativos)
  • √(a/b) = √a / √b (somente se b > 0)
  • (√a)² = a (somente se a >= 0)

Nota histórica

O símbolo radical √ evoluiu da letra r, de radix, raiz em latim, no século XVI. A barra horizontal, chamada vinculum, foi acrescentada no século XVII para indicar exatamente o que fica sob a raiz.

Perguntas frequentes

Todo número positivo tem duas raízes quadradas: +r e −r. O símbolo radical √ retorna a raiz principal, a não negativa. Ao resolver equações quadráticas, você normalmente considera as duas raízes.

Por convenção, apenas 5. √ retorna a raiz principal. Ao resolver x² = 25, tanto 5 quanto −5 satisfazem a equação, então escrevemos x = ±5.

Métodos comuns incluem retirar quadrados perfeitos do radical, o algoritmo de divisão longa dígito a dígito e o método de Newton: x_new = (x + a/x)/2. O método de Newton converge rapidamente; poucas iterações geralmente bastam para uma conferência em sala de aula.

Uma prova clássica usa contradição. Se √2 = p/q em termos mínimos, então 2q² = p², logo p é par. Escrevendo p = 2k, obtemos q² = 2k², então q também é par. Isso contradiz a suposição de que p/q estava em termos mínimos, portanto √2 não pode ser uma fração.

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