Calculadora de Integrais
Digite uma expressão em x (ou qualquer variável) e a calculadora retorna uma antiderivada simbólica ou um valor numérico em um intervalo dado. Lida com polinômios, funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e racionais, juntamente com substituições comuns e integração por partes — com os passos mostrados se você precisar verificar seu trabalho.
Como avaliar uma integral
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1
Digite o integrando
Escreva a função como `x^2 + 3*sin(x)` ou `1 / (x^2 + 1)`. Multiplicação implícita com espaços é aceita.
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2
Escolha definida ou indefinida
Para uma integral definida, defina os limites inferior e superior (suporta `inf` e `-inf`).
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3
Calcule
A ferramenta tenta uma solução simbólica primeiro; se isso falhar, ela recorre à quadratura numérica.
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4
Leia os passos
A expansão passo a passo opcional mostra a substituição, integração por partes ou decomposição em frações parciais.
Antiderivadas comuns
| f(x) | Integral |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| sec^2(x) | tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan(x) + C |
| 1 / sqrt(1 - x^2) | arcsin(x) + C |
Técnicas que a ferramenta tenta, em ordem
- Regras básicas — potência, exponencial, trig.
- Substituição (u-sub) — identificar uma função e sua derivada no integrando.
- Integração por partes —
∫u dv = uv - ∫v du, para produtos de diferentes tipos de funções. - Frações parciais — para integrandos racionais
P(x)/Q(x)comdeg(P) < deg(Q). - Identidades trigonométricas — para produtos de senos e cossenos.
- Quadratura numérica — Gauss-Kronrod para integrais definidas quando não existe forma fechada.
Notação de integral definida
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
O teorema fundamental diz: se F é uma antiderivada de f, a integral definida de a a b é igual a F(b) - F(a). A ferramenta calcula F primeiro, depois avalia nos limites.
Erros comuns
- Esquecer o
+ C. Toda integral indefinida tem uma constante de integração. A ferramenta imprime isso; alunos escrevendo à mão frequentemente esquecem. - Limites errados em integrais impróprias.
∫_0^∞ e^(-x) dx = 1, mas∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π). Sempre verifique a convergência. - Usar arctan em vez de arctanh quando o denominador se fatorar como
(x-a)(x-b)com raízes reais — isso é um logaritmo, não um arctan. - Esquecer a regra da cadeia na substituição u. Se
u = 3x, entãodu = 3 dx, nãodu = dx.
Quando não há forma fechada
Algumas integrais simplesmente não têm antiderivada elementar — e^(-x^2), sin(x)/x, 1/ln(x). Em um intervalo específico, elas ainda têm um valor numérico, que a ferramenta calcula com alta precisão.
Perguntas frequentes
Para uma integral definida, a ferramenta recorre à quadratura numérica (Gauss-Kronrod) e retorna um valor com uma estimativa de erro. Para uma integral indefinida sem antiderivada elementar, ela informa isso e oferece uma expansão em série como alternativa.
Sim. Envolva a expressão para esclarecer a variável, por exemplo, integrate(t^2, t). Qualquer variável de uma letra funciona.
Sim. Ative “mostrar passos” e a ferramenta imprime a substituição, a escolha por partes ou a decomposição em frações parciais que usou, uma linha de cada vez.
Sim, mas você pode precisar dividir o intervalo nos cruzamentos de zero para uma resposta limpa. A ferramenta lida com \|x\| detectando os sinais automaticamente quando possível.