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Calculadora de derivadas parciais

Etapa 1 / 4 Derivada parcial

Use esta calculadora de derivadas parciais para derivar expressões polinomiais em x, y e z. Digite termos como 3x^2y, x*y, 4xy^3 ou 2,5z, escolha a variável e a ferramenta trata as demais variáveis como constantes. Você também pode avaliar a derivada resultante em um ponto específico para verificações rápidas em cálculo, otimização e modelagem multivariável.

Como encontrar uma derivada parcial

  1. 1

    Digite uma expressão polinomial

    Use x, y e z com potências, decimais e sinais de multiplicação opcionais. A calculadora mantém a entrada limitada e nunca executa código arbitrário.

  2. 2

    Escolha a variável de derivação

    Selecione x, y ou z. Ao derivar em relação a essa variável, todas as demais são mantidas constantes.

  3. 3

    Leia ou avalie o resultado

    Revise os termos da derivada simplificada e ative a avaliação em um ponto se quiser um valor numérico para as coordenadas x, y e z escolhidas.

O que significa uma derivada parcial

Uma derivada parcial mede como uma função de várias variáveis muda quando uma variável varia enquanto as demais permanecem fixas. Para uma função f(x, y, z), a derivada ∂f/∂x trata y e z como constantes. Essa é a regra central da calculadora: derivar apenas a variável selecionada, carregar sem alteração todos os fatores das demais variáveis e descartar qualquer termo que não contenha a variável selecionada.

Para um termo polinomial, a regra da potência continua valendo:

∂/∂x (a * x^m * y^n * z^p) = a * m * x^(m-1) * y^n * z^p

O mesmo padrão funciona para y ou z; apenas a variável escolhida fornece o multiplicador do expoente.

Exemplo resolvido

Para f(x, y, z) = 3x^2y + 4xy^3 - 5z + 7:

Alvo Termos que mudam Derivada parcial
x 3x^2y, 4xy^3 6xy + 4y^3
y 3x^2y, 4xy^3 3x^2 + 12xy^2
z -5z -5

Se você avaliar ∂f/∂x = 6xy + 4y^3 em (x, y, z) = (2, 3, 1), o valor é 6 * 2 * 3 + 4 * 3^3 = 144. Observe que z não aparece nesta derivada, então mudar z não alteraria esse valor específico.

Sintaxe suportada

A calculadora é deliberadamente determinística. Ela suporta termos de tipo polinomial em x, y e z: produtos implícitos como 3x^2y, produtos explícitos como x*y, coeficientes decimais como 2,5z, constantes e sinais de mais ou menos. Ela não processa funções trigonométricas, logaritmos, parênteses, quocientes nem scripts arbitrários. Para esses casos simbólicos mais amplos, use o resultado como um verificador rápido de polinômios, e não como um sistema de álgebra computacional completo.

Erros comuns

  • Esquecer a regra da variável constante. Em ∂/∂x, o termo 4xy^3 vira 4y^3, não 12xy^2.
  • Perder os fatores carregados. 3x^2y vira 6xy; o y permanece porque é um multiplicador constante.
  • Confundir uma derivada parcial com uma derivada total. Uma derivada parcial altera uma entrada de cada vez. Uma derivada total também considera como as variáveis dependem umas das outras.
  • Esperar funções não suportadas. Expressões como sin(xy) ou (x + y)^2 precisam de expansão ou de uma ferramenta de álgebra simbólica antes que esta calculadora possa processá-las.

Perguntas frequentes

Ela suporta termos polinomiais formados por x, y e z. Você pode usar multiplicação implícita como 3x^2y ou multiplicação explícita como x*y.

Elas são tratadas como constantes. Por exemplo, ao derivar 3x^2y em relação a x, o y permanece como multiplicador constante e o resultado é 6xy.

Sim. Ative a avaliação em um ponto e digite os valores de x, y e z. A calculadora substitui esses números no polinômio da derivada depois de derivar.

Esta ferramenta não usa nenhum arquivo nem serviço simbólico externo. A expressão é processada pela calculadora Livewire na requisição atual, e nenhum código arbitrário é executado.

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