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Calculadora de integral tripla

Etapa 1 / 4 Integral tripla
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Integrais triplas medem quantidades distribuídas em uma região tridimensional: volume, massa a partir de uma função de densidade ou qualquer valor acumulado ∭f(x,y,z) dV. Esta calculadora fornece no navegador uma aproximação pela regra do ponto médio sobre limites retangulares numéricos para x, y e z, sendo útil para conferências rápidas, exemplos de aula e regiões em forma de caixa.

Como aproximar uma integral tripla

  1. 1

    Digite f(x,y,z)

    Use sintaxe de calculadora, como x*y*z, x^2+y^2+z^2 ou sin(x)*cos(y).

  2. 2

    Defina limites numéricos

    Preencha os valores mínimo e máximo de x, y e z. A ferramenta avalia uma caixa retangular no espaço xyz.

  3. 3

    Escolha passos por eixo

    O controle define n subdivisões para cada eixo, então a estimativa usa n³ amostras nos pontos médios.

  4. 4

    Calcule a estimativa do ponto médio

    Cada pequena caixa é amostrada no centro e multiplicada pelo elemento de volume ΔxΔyΔz.

  5. 5

    Refine e confira

    Aumente a quantidade de passos e compare com casos simples ou com um resultado simbólico quando houver.

O que a calculadora realmente avalia

Entrada Como é usada Observação prática
f(x,y,z) Valor amostrado em cada ponto médio Funções suaves convergem de forma mais previsível que picos bruscos ou descontinuidades
x min/max, y min/max, z min/max Limites retangulares numéricos Os limites podem ser negativos; inverter mínimo e máximo muda o sinal daquele eixo
Passos por eixo Número de divisões em cada dimensão O trabalho cresce como n³, então 60 passos significam 216.000 avaliações da função

Esta é uma calculadora numérica, não um integrador simbólico. Ela não encontra primitivas nem deduz novos limites para coordenadas esféricas ou cilíndricas. Se a sua região for uma esfera, um cone ou outro sólido curvo, primeiro reescreva o problema em limites e integrando que este método retangular do ponto médio consiga amostrar, ou use um fluxo simbólico para integrais triplas.

Usos comuns

  • Conferir volume: use f(x,y,z) = 1 sobre uma caixa para confirmar o volume.
  • Estimar massa: insira uma função densidade ρ(x,y,z) e integre sobre limites numéricos.
  • Valor médio: divida a estimativa da integral pelo volume da caixa.
  • Verificação numérica: compare uma resposta obtida à mão ou no livro com uma estimativa computacional rápida.

Sistemas de coordenadas e elementos de volume

Sistema de coordenadas Elemento de volume típico O que lembrar aqui
Cartesiano dx dy dz Corresponde diretamente aos limites x/y/z desta calculadora
Cilíndrico r dr dθ dz Útil para regiões com simetria axial, mas o fator r deve fazer parte do integrando transformado
Esférico ρ² sin(φ) dρ dφ dθ Útil para esferas e cascas, mas exige limites transformados e o fator jacobiano

A interface aceita apenas intervalos numéricos para x, y e z. Ideias de sistemas de coordenadas continuam úteis para montar a matemática, mas a expressão final inserida precisa corresponder às variáveis e aos limites que a calculadora amostra.

Checagem: cubo unitário

Para o cubo unitário e f(x,y,z) = x*y*z:

∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0,125

É uma boa entrada de teste porque os limites são retangulares e a resposta esperada é simples. Se o resultado numérico ficar longe de 0,125, aumente os passos ou confira a sintaxe da expressão.

Dicas de precisão

A regra do ponto médio geralmente melhora conforme você aumenta o número de passos, mas continua sendo uma aproximação. Funções suaves em uma caixa retangular funcionam melhor. Funções descontínuas, singularidades, picos muito estreitos ou regiões que não são realmente caixas podem produzir valores enganosos se o problema não for reformulado com cuidado.

Perguntas frequentes

A calculadora usa uma regra numérica do ponto médio. Mais passos significam mais pontos de amostragem, então a estimativa normalmente deve se aproximar de um valor estável para integrandos suaves.

Não. Esta página aproxima integrais definidas sobre limites numéricos. Use uma calculadora simbólica de integrais quando precisar de primitivas ou passos algébricos.

Não diretamente. As entradas são intervalos retangulares para x, y e z. Em configurações cilíndricas ou esféricas, inclua o fator jacobiano correto e os limites transformados em um método que suporte essas variáveis.

Não. Todos os cálculos rodam no seu navegador.

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