Calculadora de Integral Tripla
As integrais triplas computam volume, massa e fluxo sobre regiões tridimensionais — o tipo de problema onde uma região cartesiana como uma caixa tem limites diretos, mas o sólido entre dois paraboloides requer decisões cuidadosas sobre a ordem de integração. Esta calculadora avalia ∭f(x,y,z) dV sobre os limites que você especificar, suporta coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, e mostra cada passo da antiderivada.
Como calcular uma integral tripla
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1
Insira f(x,y,z)
A função integranda. Notação padrão: x*y*z, x^2+y^2, sin(x)*cos(y).
-
2
Escolha um sistema de coordenadas
Cartesiano (dx dy dz), cilíndrico (r dr dθ dz) ou esférico (ρ² sin(φ) dρ dφ dθ).
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3
Defina os limites
Para cada uma das três variáveis — constantes ou funções das outras.
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4
Escolha a ordem de integração
dzdydx, dxdydz, etc. A escolha pode simplificar drasticamente os cálculos.
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5
Veja a avaliação passo a passo
Integral interna primeiro, depois a do meio, e por último a externa, com antiderivadas em cada estágio.
Para que servem os três sistemas de coordenadas
| Sistema | Elemento de volume | Melhor para |
|---|---|---|
| Cartesiano | dx dy dz | Caixas, prismas, regiões não simétricas gerais |
| Cilíndrico | r dr dθ dz | Cilindros, cones, superfícies de revolução |
| Esférico | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Esferas, setores de esferas, problemas gravitacionais |
Usar o sistema errado transforma uma integral trivial em um pesadelo. Uma esfera de raio 1 integrada em cartesiano tem limites complicados √(1 − x² − y²); em esférico, é ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ, limpo e separável.
Problemas comuns
- Massa: ∭ρ(x,y,z) dV, onde ρ é a densidade.
- Centro de massa: ∭x ρ dV / massa total, análogo para y e z.
- Momento de inércia: ∭r² ρ dV em relação a um eixo escolhido.
- Volume: ∭1 dV — a integranda é 1, reduzindo ao cálculo do volume da região.
Mudando a ordem de integração
Para uma região onde o limite interno não pode ser expresso de forma agradável como uma função da variável externa, trocar a ordem muitas vezes ajuda. Esboce a região, projete no plano interno-externo que você deseja e rederive os limites.
Exemplo resolvido: volume de uma esfera
Em coordenadas esféricas, a bola unitária {x²+y²+z² ≤ 1}:
V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
= ∫₀²π (2/3) dθ
= 4π/3
O famoso V = (4/3)πr³ aparece em três passos limpos — em cartesiano, a mesma integral ocupa várias páginas.
Alternativa numérica
Algumas integrais não têm antiderivada em forma fechada. Quando a integração simbólica falha, a calculadora recorre à quadratura numérica, retornando um valor aproximado com uma estimativa de erro.
Perguntas frequentes
Na maioria das vezes, os limites estavam errados. Os limites de integrais triplas podem depender de variáveis internas, e a desordem produz integrais matematicamente diferentes. Esboce a região primeiro, depois derive os limites com cuidado.
A calculadora muda para métodos numéricos (quadratura adaptativa). Você obtém uma resposta numérica com um limite de erro em vez de uma expressão simbólica.
Esférico quando a região tem simetria 3D completa em torno de um ponto (esferas, cones a partir de um ponto). Cilíndrico quando há simetria axial (cilindros, superfícies de revolução em torno de um eixo). Cartesiano quando não há nenhuma.
Não. Todos os cálculos são realizados no seu navegador.
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