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Calculadora de Probabilidade Binomial

Etapa 1 / 4 P(X = k)
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Dadas n tentativas de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p, a distribuição binomial informa com que frequência você verá exatamente k sucessos. A calculadora retorna a probabilidade exata P(X = k) e as caudas P(X < k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) e P(X > k) de uma só vez, com aritmética em espaço logarítmico para permanecer precisa até n = 1.000.

Como calcular a probabilidade binomial

  1. 1

    Insira n (número de tentativas)

    Deve ser um inteiro não negativo. Valores típicos: 10 lançamentos de moeda, 100 visitantes de teste A/B, 1.000 amostras de fabricação.

  2. 2

    Insira p (probabilidade de sucesso)

    Um valor entre 0 e 1. Para uma moeda justa p = 0,5; para uma taxa de cliques de 12% p = 0,12.

  3. 3

    Insira k (número alvo de sucessos)

    Um inteiro de 0 a n.

  4. 4

    Leia as probabilidades

    As cinco probabilidades: exata P(X = k), menor que P(X < k), no máximo P(X ≤ k), no mínimo P(X ≥ k) e maior que P(X > k).

A fórmula

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Onde C(n, k) é o coeficiente binomial “n escolher k”. A ferramenta usa aritmética em espaço logarítmico para evitar estouro quando n é grande.

Exemplo prático: 10 lançamentos de moeda, exatamente 7 caras

  • n = 10, p = 0,5, k = 7
  • C(10, 7) = 120
  • P(X = 7) = 120 · 0,5^7 · 0,5^3 = 120 / 1024 ≈ 0,1172

Assim, cerca de 11,7% das vezes você verá exatamente 7 caras em 10 lançamentos.

Quando a distribuição binomial se aplica

Todas as quatro suposições de Bernoulli devem ser mantidas:

  1. Número fixo de tentativas (n é decidido com antecedência).
  2. Cada tentativa é independente das outras.
  3. Apenas dois resultados por tentativa (sucesso / fracasso).
  4. Probabilidade de sucesso constante p em todas as tentativas.

Se alguma suposição falhar (sorteios dependentes sem reposição, p variável, mais de dois resultados), use a distribuição hipergeométrica, Poisson-binomial ou multinomial.

Média, variância e aproximação normal

  • Média: μ = np
  • Variância: σ² = np(1-p)
  • Desvio padrão: σ = √(np(1-p))

Quando np ≥ 10 e n(1-p) ≥ 10, a binomial é bem aproximada por Normal(μ, σ²) com uma correção de continuidade. Use essa regra como verificação rápida para n grandes, pois a calculadora sempre retorna valores exatos.

Perguntas frequentes

P(X = k) é a probabilidade de exatamente k sucessos; P(X ≤ k) é a probabilidade cumulativa de no máximo k. Para 10 lançamentos de uma moeda justa, P(X = 5) ≈ 0,246, mas P(X ≤ 5) ≈ 0,623.

Sim. A calculadora retorna P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1). Para “mais que k”, subtraia mais um: P(X > k) = P(X ≥ k+1).

Até 1.000 nas etapas guiadas, estável graças ao cálculo em espaço logarítmico e suficiente para os casos comuns de lançamentos de moeda, pesquisas e testes A/B. Além disso, use a aproximação normal ou a aproximação de Poisson (válida quando p é pequeno e n é grande).

Então você precisa da distribuição Poisson-binomial, não da binomial simples. Esta calculadora assume um único p constante em todas as n tentativas.

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