Calculadora de Probabilidade Binomial
Dadas n tentativas de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p, a distribuição binomial informa com que frequência você verá exatamente k sucessos. A calculadora lida com a probabilidade exata P(X = k), a cumulativa P(X ≤ k), a cauda superior P(X ≥ k) e a média/variância de uma só vez — tudo com a combinatória baseada em log-gamma para que permaneça precisa mesmo com n = 10.000.
Como calcular a probabilidade binomial
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1
Insira n (número de tentativas)
Deve ser um inteiro não negativo. Valores típicos: 10 lançamentos de moeda, 100 visitantes de teste A/B, 10.000 amostras de fabricação.
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2
Insira p (probabilidade de sucesso)
Um valor entre 0 e 1. Para uma moeda justa p = 0.5; para uma taxa de cliques de 12% p = 0.12.
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3
Insira k (número alvo de sucessos)
Um inteiro de 0 a n.
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4
Leia as probabilidades
P(X = k) exato, cauda esquerda P(X ≤ k), cauda direita P(X ≥ k), além da média = np e variância = np(1-p).
A fórmula
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)
Onde C(n, k) é o coeficiente binomial “n escolher k”. A ferramenta usa aritmética em espaço logarítmico via a função gama para evitar estouro quando n é grande.
Exemplo prático: 10 lançamentos de moeda, exatamente 7 caras
- n = 10, p = 0.5, k = 7
- C(10, 7) = 120
- P(X = 7) = 120 · 0.5^7 · 0.5^3 = 120 / 1024 ≈ 0.1172
Assim, cerca de 11,7% das vezes você verá exatamente 7 caras em 10 lançamentos.
Quando a distribuição binomial se aplica
Todas as quatro suposições de Bernoulli devem ser mantidas:
- Número fixo de tentativas (n é decidido com antecedência).
- Cada tentativa é independente das outras.
- Apenas dois resultados por tentativa (sucesso / fracasso).
- Probabilidade de sucesso constante p em todas as tentativas.
Se alguma suposição falhar (sorteios dependentes sem reposição, p variável, mais de dois resultados), use a distribuição hipergeométrica, Poisson-binomial ou multinomial.
Média, variância e aproximação normal
- Média: μ = np
- Variância: σ² = np(1-p)
- Desvio padrão: σ = √(np(1-p))
Quando np ≥ 10 e n(1-p) ≥ 10, a binomial é bem aproximada por Normal(μ, σ²) com uma correção de continuidade. A calculadora sinaliza essa condição para que você possa trocar para um atalho de escore z quando aplicável.
Perguntas frequentes
P(X = k) é a probabilidade de exatamente k sucessos; P(X ≤ k) é a probabilidade cumulativa de no máximo k. Para 10 lançamentos de uma moeda justa, P(X = 5) ≈ 0.246, mas P(X ≤ 5) ≈ 0.623.
Sim. A calculadora retorna P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1). Para “mais que k”, subtraia mais um: P(X > k) = P(X ≥ k+1).
Até 100.000 é estável graças ao cálculo log-gamma. Além disso, use a aproximação normal ou a aproximação de Poisson (válida quando p é pequeno e n é grande).
Então você precisa da distribuição Poisson-binomial, não da binomial simples. Esta calculadora assume um único p constante em todas as n tentativas.
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