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Calculadora de Completamento do Quadrado

Etapa 1 / 3 Forma do vértice
Converter ax² + bx + c para a forma a(x − h)² + k.
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Dada uma quadrática ax²+bx+c, completar o quadrado a reescreve como a(x-h)²+k, revelando diretamente o vértice da parábola (h, k). Insira a, b e c e a calculadora retorna a forma do vértice a(x − h)² + k junto com as coordenadas do vértice (h, k). Útil para cálculo, física (movimento de projéteis), problemas de otimização e dever de casa de álgebra.

Como funciona o completamento do quadrado

  1. 1

    Insira os coeficientes a, b, c

    A quadrática ax² + bx + c. Insira decimais; uma fração como 1/2 é digitada como 0,5.

  2. 2

    Fatore a de x² e os termos x

    a(x² + (b/a)x) + c, separa a constante dos termos x.

  3. 3

    Adicione e subtraia (b/(2a))²

    Cria um quadrado perfeito: a(x² + (b/a)x + (b/(2a))²) − a(b/(2a))² + c.

  4. 4

    Colapse para a forma do vértice

    a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) = a(x − h)² + k, onde h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a).

Exemplo resolvido: 2x² + 8x + 5

Passo 1, fatorar a = 2 dos termos x: 2(x² + 4x) + 5

Passo 2, metade de 4 é 2, ao quadrado é 4. Adicione e subtraia 4 dentro: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5

Passo 3, divida em quadrado perfeito e resto: 2((x + 2)² − 4) + 5

Passo 4, distribua 2: 2(x + 2)² − 8 + 5

Passo 5, simplifique a constante: 2(x + 2)² − 3

Forma do vértice: a = 2, h = −2, k = −3 → vértice em (−2, −3).

A fórmula geral

Para ax² + bx + c:

  • h = −b / (2a)
  • k = c − b² / (4a)
  • Forma do vértice: a(x − h)² + k

Por que completar o quadrado?

  • Encontre o vértice instantaneamente para esboços de parábola.
  • Resolva equações quadráticas sem a fórmula quadrática, especialmente útil para raízes irracionais.
  • Derive a própria fórmula quadrática: completar o quadrado em ax² + bx + c = 0 produz x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
  • Cálculo: encontrando extremos de quadráticas sem derivadas.
  • Movimento de projéteis: a altura máxima de uma bola lançada para cima é o k na forma do vértice de sua equação de altura.
  • Círculos e seções cônicas: completar o quadrado em ambos os termos x e y converte x² + y² + Dx + Ey + F = 0 em (x−h)² + (y−k)² = r², tornando o centro e o raio óbvios.

Geometria da parábola a partir da forma do vértice

  • Vértice: (h, k).
  • Eixo de simetria: x = h.
  • Abre para cima se a > 0, para baixo se a < 0.
  • Valor máximo ou mínimo da função: k.
  • Largura: mais estreita para |a| > 1, mais larga para |a| < 1.
  • Raízes (se reais): x = h ± √(−k/a). Reais apenas quando k/a ≤ 0.

Erros comuns

  • Esquecer de distribuir a após completar o quadrado dentro dos parênteses. O termo de correção muda.
  • Erros de sinal em b/(2a): h = −b/(2a), não +b/(2a).
  • Não dividir o coeficiente do meio antes de elevar ao quadrado. “Metade de b sobre a, depois elevar ao quadrado” é a frase canônica.
  • Deixar a ≠ 1 enterrada: sempre fatorá-la primeiro para simplificar.

Caso especial: a = 1

Quando a = 1, o processo se simplifica:

  • x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
  • h = −b/2, k = c − b²/4

k negativo significa raízes reais

Se k tem o sinal oposto de a, a parábola cruza o eixo x. Resolva a(x − h)² = −k para encontrá-las.

Perguntas frequentes

Completar o quadrado expõe diretamente o vértice (forma do gráfico), enquanto a fórmula quadrática fornece raízes. Ambos têm suas utilidades: raízes quando você quer onde y = 0, forma do vértice quando você quer forma, máximo, mínimo ou eixo de simetria.

Insira os coeficientes como decimais; frações como 1/2 ou 3/4 são digitadas como 0,5 ou 0,75. Os resultados são calculados com a precisão de ponto flutuante usual de uma calculadora.

Esta versão lida com quadráticas em uma única variável. Para seções cônicas (círculos, elipses) em x e y, complete o quadrado em cada variável separadamente, o processo é idêntico, aplicado duas vezes.

A forma do vértice continua funcionando; a parábola simplesmente não cruza o eixo x, então não há raízes reais. A calculadora continua retornando a forma do vértice e as coordenadas do vértice.

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